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Basis von Abbildungen, Matrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Abbildung zwischen endlichen Mengen, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung

Tiger-Tiger aktiv_icon

14:52 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei

K

ein Körper und seien

N \subseteq M

endliche Mengen.
Zeige dass die Abbildung

φ : A b b (M, K) \to A b b (N, K), f \mapsto f ∣_{N}

K

-linear ist.
Finde dann Basen von

A b b (M, K)

und

A b b (N, K)

und eine Matrix, die

φ

bezüglich der Basen darstellt.

Ich habe bereits gezeigt, dass

φ

linear ist.

Allerdings kann ich mir nicht wirklich vorstellen, wie eine Basis einer Abbildung aussehen soll.
Kann mir das jemand erklären?

Schon mal Danke im Voraus.

Grüße,
Tiger-Tiger

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

15:08 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

hm, da gibt es eine Menge möglicher Basen, abhängig von der Mächtgkeit des Körpers

K

.

Vielleicht hilft dir auf der Suche nach einer (eigenen) Basis folgender Vorstellungswechsel:
Ist

M

eine (beispielsweise) dreielementige Menge, etwa

M = {a, b, c}

(

a \neq b \neq c \neq a

), so kannst du doch eine Abbildung von

M

nach

K

einfach durch Angabe der Bilder von

a

b

und

c

"kodieren". Du könntest für so eine Abbildung

f : M \to K; x \mapsto f (x)

etwa schreiben:

f = {(a, f (a)); (b, f (b)); (c, f (c))}

(Standard).

Wenn du dich aber auf die Reihenfolge der Elemente

a

b

und

c

festlegst, so brauchst du auch nur(!) die Bilder anzugeben und alles ist über

f

gesagt.
Dann könntest du

f

"identifizieren" mit

(\begin{array}{c} f (a) \\ f (b) \\ f (c) \end{array})

.
Vielleicht machen wir es noch konkreter: Ein Körper

K

muss ja wenigstens die beiden verschiedenen Elemente 0 und 1 enthalten und es muss in

K

auch 1+1="2" zu rechnen sein.

Dann könnte eine Abbildung von unserer Beispielmenge

M

durch

(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array})

gegeben sein und man wüsste sofort, dass

f (a) = 0

f (b) = 2

und

f (c) = 1

gälte.

Auf diese Weise rückst du wieder in die Nähe von "Vektoren" (tatsächlich ist auf der Menge aller Abbildungen von einer beliebigen Menge

M

in einen beliebigen Körper

K

kanonisch eine Vektorraumstruktur gegeben, indem man die Summe und die Skalarmultiplikation "komponentenweise" definiert).

Vielleicht findest du ja mit diesem Wissen eine Basis?!

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.11.2014

Super, danke für die Antwort.

Also gut: Dann nehme ich mal an, dass

M

i

Elemente und

K

j

Elemente hat.
Diese Elemente sind dann also

m_{1}, . . ., m_{i}

mit

i \in I

.

Damit das eine Basis wird, muss

m_{1}

alle Elemente

k_{1}, . . ., k_{j}

mit

j \in J

treffen und

m_{2}, . . ., m_{i}

genau so.

Kann ich dann folgendes als Basis angeben:?
Sei

x \in I

e_{i j} (m_{x}) = k_{j}

, wenn

x = i

und

0

, wenn

x \neq i

Aber wie mach ich dann mit der Matrix weiter?

michaL aktiv_icon

15:48 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

hm, du musst selbst beweisen, dass das eine Basis ist! :-)
Aber es ist eine. Allerdings kannst du die Abbildung kürzer formalisieren:

e_{i} : M \to K; m_{j} \mapsto δ_{i, j}

(

δ_{i, j}

sei das Kronecker-Delta, siehe de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta ).

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

15:58 Uhr, 16.11.2014

Aha, gut zu wissen :-).

Die Matrix müsste doch dann eigentlich nur die

m_{x}

durch entsprechende

n \in N

ersetzen, oder?
Aber wie schreib ich das denn auf?

michaL aktiv_icon

16:01 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

> Die Matrix müsste doch dann eigentlich nur die

m_{x}

durch entsprechende

n \in N

ersetzen, oder?

Nein.

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

16:07 Uhr, 16.11.2014

Aber wie mach ich das dann? Bin gerade völlig ratlos...
Ich hab wohl eine zu einfache Vorstellung von einer Matrix.

michaL aktiv_icon

16:28 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

mach doch ein Beispiel!
Vom Konkreten zum Allgemeinen!

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

20:32 Uhr, 16.11.2014

Ok, also ich habe jetzt noch eine Basis für

A b b (N, K)

gewählt:

Seien

n_{1}, . . ., n_{h}

mit

h \in H

die Elemente von

N

.
Basis:

d_{h j} = k_{j}

wenn

s = h

, und

0

wenn

s \neq h

Ich habe jetzt folgendes gewählt:

M = {1, 2}, N = {1, 2, 3}, K = {0, 1, 2}

Wenn man das jetzt ausschreibt, steht ja da:

e_{10} (1) = 0

e_{20} (1) = 0

e_{11} (1) = 1

e_{21} (1) = 0

e_{12} (1) = 2

...

und:

d_{10} (1) = 0

d_{20} (1) = 0

d_{30} (1) = 0

d_{11} (1) = 1

...

Aber auf was genau bilde ich die Basisabbildungen denn ab?
Ich dachte, das

φ

besagt, ich soll die

m

durch die

n

ersetzen, oder versteh ich das falsch?

michaL aktiv_icon

20:46 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

> Aber auf was genau bilde ich die Basisabbildungen denn ab?
> Ich dachte, das φ besagt, ich soll die m durch die n ersetzen, oder versteh ich das falsch?

Ja, verstehst du falsch.

> Zeige dass die Abbildung φ:Abb(M,K)→Abb(N,K),f↦f∣N K-linear ist.

Beachte

N \subseteq M

, d.h. eine Abbildung

f : M \to K

wird abgebildet auf ihre Einschränkung auf

N

f ∣_{N} : N \to K

.

Insbesondere macht
> Ich habe jetzt folgendes gewählt: M={1,2},N={1,2,3}
keinen Sinn, da nicht
> seien N⊆M endliche Mengen
gilt.

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

21:08 Uhr, 16.11.2014

Ah natürlich, M und N müsste man tauschen.

Ach so, das mit der Einschränkung ist mir neu, danke dafür.
Aber ich hab doch trotzdem keine genaue Abbildungsvorschrift?

Sorry, dass ich mic grad etwas blöd anstelle, aber ich sehs einfach nicht.

michaL aktiv_icon

22:17 Uhr, 16.11.2014

Hallo,

die Abbildungsvorschrift ist doch gegeben:
> φ:Abb(M,K)→Abb(N,K),f↦f∣N

Wenn du nicht weißt, was die Einschränkung f∣N bedeutet, lies vielleicht de.wikipedia.org/wiki/Einschr%C3%A4nkung

Mfg Michael

Tiger-Tiger aktiv_icon

17:08 Uhr, 17.11.2014

Dann mal nochmal: M={1,2,3},N={1,2},K={0,1,2}
Wenn man also

φ

betrachtet, haben manche Elemente einfach kein Bildelement, da hier die 3 in

N

nicht vorkommt.

e_{10} (1) = 0 \mapsto d_{10} (1) = 0

e_{20} (1) = 0 \mapsto d_{20} (1) = 0

e_{30} (1) = 0

kein Bildelement

e_{11} (1) = 1 \mapsto d_{11} (1) = 1

e_{21} (1) = 0 \mapsto d_{21} (1) = 0

e_{31} (1) = 0

kein Bildelement

e_{12} (1) = 1 \mapsto d_{12} (1) = 2

...

Stimmt das soweit?

ledum aktiv_icon

12:40 Uhr, 18.11.2014

Hallo
es ist ungeschickt, für

M, N, K

Zahhlen zu nehmen.

K

ist ein Körper, wenn du willst dass er die Elemente

0,1,2

hat dann ist das

ℤ_{3}

d . h

. die Elemente von

m

werden auf Zahlen abgebildet. wenn du jetzt für die

m_{i}

auch Zahlen verwendest wird das unübersichtlich.
Gruß ledum

Tiger-Tiger aktiv_icon

13:11 Uhr, 18.11.2014

Ja das leuchtet mir ein.
Aber ich sehe trotzdem nicht wie ich daraus eine Matrix herausfinden soll?

michaL aktiv_icon

15:50 Uhr, 18.11.2014

Hallo,

seufz!

Wir verlieren die Problematik aus dem Auge und verlieren uns in Details.

Ich würde gern nochmal kurz zurückgehen und dein (Tiger-Tigers) posting von 15:40 Uhr, 16.11.2014 aufgreifen.
Gefragt war nach einer Basis. Die

e_{i j}

bilden aber keine (oder nur, wenn der Körper

ℤ_{2}

ist), da sie nicht linear unabhängig sind.
Es gilt etwa:

e_{02} = 2 \cdot e_{01}

Bitte mache dir das klar. Gib dann bitte erst eine echte richtige wirliche Basis an (Teilmenge dieser Abbildungen

e_{i j}

würde ich bevorzugen). Vielleicht hilft dir auch nochmal die Darstellung als

n

-Tupel (Vektoren [nicht ganz korrekt]).

Dann geht es mir als nächstes um dein posting von 17:08 Uhr, 17.11.2014.
Dort schreibst du:
>

e_{3} 0 (1) = 0

kein Bildelement

Das ist nicht korrekt. Wenn ich eine Abbildung auf eine Teilmenge einschränke, muss doch wieder eine Abbildung herauskommen.
Die Klärung dieses Sachverhalts wird dich einer Matrizendarstellung näher bringen.

Erst nach diesen beiden Dingen klären wir, wie man ausgehend von den Bildern einer Basis eine zugehörige Matrizendarstellung findet (wenn du das nicht schon weißt).

Mfg Michael

Denic aktiv_icon

22:10 Uhr, 19.11.2014

1. Ich bin auch gerade an der Aufgabe und habe gerade ein grundsätzliches Problem: was macht die Abbildung

φ

eigentlich? Mir ist klar was die jeweiligen Abbildungen links und rechts tun.
2. Wie kann ich Linearität beweisen, dafür müsste ich ja sowas wie

φ (a_{1} + a_{2}) = φ (a_{1}) + φ (a_{2})

und

φ (α a_{1}) = α φ (a_{1})

zeigen, mit

a_{1}, a_{2} \in A b b (M, K)

. Ich kann mir aber nichts unter solchen

a_{1}, a_{2}

vorstellen.

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