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Basis von Kern(f) und Bild(f) bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

ubik89 aktiv_icon

11:15 Uhr, 12.02.2016

Hallo,

kann mir jemand helfen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe?

Die Aufgabe lautet:

Sei

f : R^{5} \to R^{4}, x \to

Ax mit

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix})

Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und Bild(f).

Meine Lösung:

Zur Bestimmung einer Basis von Kern(f) setzen wir Ax

= 0

. Dann schreiben wir das lineare Gleichungssystem in eine Koeffizientenmatrix und bestimmen mit dem Gauss-Algorithmus die Treppennormalform:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix})

. .

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix})

Wir fügen Nullzeilen ein, sodass die Matrix quadratisch ist:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Wir fügen

- 1

anstelle von 0 entlang der Diagonalen dort ein, wo wir Nullzeilen eingefügt haben:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Dann bilden die Spalten, in denen wir

- 1

eingefügt haben eine Basis von Kern(f), nämlich

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})

Nun bestimmen wir eine Basis von Bild(f).

Es ist

dim (R^{5}) =

dim(Bild(f))

+

dim(Kern(f)) und somit

5 =

dim(Bild(f))

+ 2

und damit dim(Bild(f))

= 3

.

Wir wählen

e_{1}, e_{2}, e_{3}

und setzen diese Vektoren in

f

ein:

f (e_{1}) = f (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

f (e_{2}) = f (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

f (e_{3}) = f (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

Damit bilden die Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

eine Basis von Bild(f).

Ist das so richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

11:36 Uhr, 12.02.2016

"Wir wählen e1,e2,e3 und setzen diese Vektoren in f ein"

Wenn man Pech hat, dann sind

f (e_{1}), f (e_{2}), f (e_{3})

linear abhängig und deshalb keine Basis. Hier hast Du Pech, sie sind linear abhängig.
Also, Du musst drei andere Vektoren von

e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}

wählen.
Oder, was besser wäre (weil ohne Ausprobieren rauskommt) - alle

f (e_{1})

bis

f (e_{5})

nehmen, als Zeilen eine Matrix schreiben, Matrix auf Stufentreppenform bringen und die Nichtnull-Zeilen nehmen, sie sind dann eine Basis vom Bild.

Kern ist richtig.

ubik89 aktiv_icon

12:55 Uhr, 12.02.2016

Hallo,

wozu ist denn der Rangsatz eigentlich hilfreich?

Also

dim (V) =

dim(Kern(f))

+

dim(Bild(f)).

Dann weiß ich, dass dim(Bild(f))

= 3

ist.

Ist er bei dieser Aufgabe überhaupt hilfreich?

Bei vielen Aufgaben wird er angewandt.

DrBoogie aktiv_icon

13:10 Uhr, 12.02.2016

In diesem Fall nur bedingt hilfreich, eigentlich nur zur Kontrolle.
In manchen Fällen spart er die Arbeit (z.B. wenn der gesamte Werteraum genau dieselbe Dimension hat wie Bild, dann muss Bild=Werteraum sein).

ubik89 aktiv_icon

13:33 Uhr, 12.02.2016

Okay, vielen Dank!

Ja, es ist halt schwer sich durch Mathematik durchzukämpfen, vor allem wenn man das noch im Fernstudium hat und niemanden fragen kann. :-)

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