Basis zu einer Ebene

Also, wenn ich da stehen hab, Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:=\{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3:2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0\}}$

Wie sieht dann meine dazugehörige Basis aus, bzw. wie sehen meine Vektoren aus?

Wie meinst du das? Soll E als Untervektorraum des ${\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ verstanden werden? Das ist aber, wenn ich mich nicht irre, kein Untervektorraum. Wahrscheinlich meinst du, wie die Vektorgleichung aussieht und die Richtungsvektoren? Ich würde mir drei Punkte auf der Ebene suchen, indem ich jeweils 2 Koordinaten frei wähle und die dritte dann ausrechne, z.B. A auf der Ebene mit

 ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=0,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=1\Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=2}$  

also A(0|2|1) auf der Ebene. So kriegst du auch weitere Punkte B und C. Und dann kannst du ja die Vektorgleichung aufstellen:

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})+\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$

Ist das das, was du gesucht hast?

Hm, eigentlich schon. Aber das heißt ja dann, dass ich praktisch irgend eine Ebene machen kann.

Unter anderem hab ich noch zwei Geraden gegeben und meine erste Aufgabe ist, dass ich die Parameterdarstellung der Geraden angeben soll, so dass die beiden Geraden orthogonal zu meiner Ebenen sind. Somit dürft ich ja dann im Endeffekt nur eine Ebene bestimmen können, damit dies zutrifft?

Werd mal ein bisschen rumprobieren, vllt. kommt ja was gescheites raus.

Wenn du eine Gerade brauchst, die senkrecht zu E ist, dann kannst du den Richtungsvektor der Geraden an der Gleichung ablesen, nämlich die Koeffizienten vor x1, x2, x3 geben die Komponenten eines sogenannten Normalenvektors von E an, d.h. eines Vektors, der auf E senkrecht steht. Also

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\underset{2}{\overset{2}{-1}}\right)}$    

ist Richtungsvektor jeder Geraden, die senkrecht auf E steht. Jetzt musst du aber noch einen Punkt angegeben bekommen, durch den die Gerade verlaufen soll, sonst kannst du die Gerade nicht eindeutig angeben! Wenn z.B. die Gerade g durch A(1|2|3) verlaufen soll und senkrecht auf E stehen soll, lautet die Parametergleichung:

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\underset{3}{\overset{1}{2}}\right)+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\underset{2}{\overset{2}{-1}}\right)}$

Übrigens machst du nicht irgendeine Ebene, wenn du drei Punkte der Ebene E verwendest, um dann die Parameterdarstellung der Ebene durch diese drei Punkte aufzustellen, sondern du bekommst ja genau dieselbe Ebene E wieder, nur eben in Parameterdarstellung anstatt in parameterfreier Koordinatendarstellung!

Aha ok.

Ich habe aber nun eine Gerade g1:= (1|0|0) + v*(2|1|0) gegeben.

Die Aufgabe sagt nun, Gerade g1 wird in die Ebene E orthogonal projeziert. Geben Sie die Parameterdarstellung der projezierten Gerade h1 an.

Was genau soll, muss ich da nun machen?

Ich weiß nicht, ob es eine schnellere Lösung gibt, aber ich würde einfach zwei Punkte ausrechnen, die auf der Geraden g liegen, also in die Geradengleichung z.B. v=0 und v=1 einsetzen, dann hast du A(1|0|0) und B(3|1|0) als Punkte der Geraden g. Dann würde ich jeweils durch A und B eine Gerade legen die senkrecht zu E ist. Das geht einfach, da du ja einen Normalenvektor von E kennst (siehe oben). Also:

Gerade durch A, senkrecht zu E:

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\underset{0}{\overset{1}{0}}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\underset{2}{\overset{2}{-1}}\right)}$

und Gerade durch B, senkrecht zu E:

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\underset{0}{\overset{3}{1}}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\underset{2}{\overset{2}{-1}}\right)}$

Jetzt noch die Schnittpunkte S1 und S2 dieser Geraden mit E ausrechnen (da setzt du in die ganz am Anfang stehende Gleichung von E anstelle von xi die Zeile von xi aus der Parameterdarstellung der Geraden ein, also für Schnittpunkt von ga mit E:

anstelle von x1 setzt du 1+2r, -r anstelle von x2  und 2r anstelle von x3-->

Gleichung:   2(1+2r) - r + 2*2r=0

r ausrechnen, in ga einsetzen --> Ortsvektor von S1  

Ebenso mit S2)

So, und jetzt muss die senkrechte Projektion von g auf E genau durch S1 und S2.

Also nimmst du die Ortsvektoren von S1 und S2 und bekommst die gesuchte Gerade 

${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}+\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}-\stackrel{\rightharpoonup }{{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1})}$

Also nochmal die Idee: ich projiziere zwei Punkte der Geraden g senkrecht auf E. Die Gerade durch diese Punkte ist dann zwangsläufig die senkrecht auf E projizierte Gerade g.