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Berechnung von den Asymptoten

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Ganzrationale Funktionen

SchokoJulia aktiv_icon

21:12 Uhr, 12.02.2009

Hallooo,

wir sollen folgende Aufgabe berechnen :

Berechne die Asymptoten der FKt :

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + t^{2}} + \frac{1}{t}

ich weiß leider gar nicht,wie ich das machen soll,bzw wie ich vorgehen soll..

ich wäre dankbar über einen ausführlichen lösungsweg,oder auch über ein beispiel,an dem ich die berechnung nachvollziehen kann,und es dann auf meine aufgabe anwenden kann..

:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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21:21 Uhr, 12.02.2009

Hallo Julia,

komplette Lösungswege gibt es nur mit eigenen Ansätzen.
Sich jetzt irgendein Beispiel auszudenken ist auch etwas mühsam, gib du doch eins an.

Falls du auch an Hinweisen zur Lösung interessiert bist melde dich nochmal, dann schreibe ich dir was dazu.

Gruß Björn

SchokoJulia aktiv_icon

21:33 Uhr, 12.02.2009

ja,da hast du schon recht ,ich dachte halt nur,dass es ein schema/formel gibt,die man anwenden kann..

naja,sonst kannst dus auch gerne mit meiner funktion machen,das hilft mir natürlich auch..
oder mir hilfe geben..so wollt ichs eig sagen :

fkt :

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + t^{2}} + \frac{1}{t}

SchokoJulia aktiv_icon

21:36 Uhr, 12.02.2009

also zu meinem eigenen ansatz :

ich dachte ien asymptote ist der bruch einer ganzrationalen funktion,der entsteht,wenn man den definitionsbereich nicht einsetzen kann.. sprich,dass im nenner nicht 0 steht..
aber das kann bei dieser funktion ja nicht passsieren..

ich will außerdem keinen kompletten lösungsweg..
ich hätte nur gerne,dass mir jemand nicht nur sagt,was ich machen soll,sondern auch gerne etwas erklärt dazu ;-)

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22:09 Uhr, 12.02.2009

Na dann sag das doch gleich ;-)

Also prinzipiell ist eine Asymptote erstmal eine Kurve (oft eine Gerade), an die sich der Graph einer Funktion beliebig annähert.

Speziell bei gebrochenrationalen Funktionen - wie bei deiner - gibt es bestimmte Herangehensweisen, um mögliche Asymptoten zu bestimmen.

Entscheidend dabei sind der Zählergrad z und Nennergrad n.

Falls z<n gilt: Es gibt eine senkrechte Asymptote (Gerade) x=s wobei s der Nullstelle des Nennerterms entspricht

Falls z=n gilt: Es gibt eine waagerechte Asymptote (Gerade) y=w mit der Steigung null, die gerade dem ganzrationalen Anteil bei Polynomdivision von Zähler und Nennerterm entspricht

Falls z=n+1 gibt es eine schiefe Asymptote (Gerade), die sich wiederum aus dem ganzrationalen Anteil bei Polynomdivision ergibt.

Falls z>n+1 entspricht die Asymptote einer bestimmten Näherungskurve, je nachdem wie hoch der Zählergrad nun wird.

Das Schöne an deiner gegebenen Funktion ist nun, dass man die Asymptote eigentlich schon direkt ablesen kann - um das jeoch auch wirklich nachzuvollziehen würde ich das alles erst nochmal auf einen Bruch bringen und dann schauen welcher Fall von oben hier zutrifft und wie es mit den Nennernullstellen aussieht.

SchokoJulia aktiv_icon

08:58 Uhr, 13.02.2009

hallo,
danke erstmal für die ausführliche Antwort..

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + t^{2}} + \frac{1}{t}

auf einen nenner gebracht wäre es dann :

f (x) =

(x^2+t^2+2xt)

/ (x^{2} + t^{2})

im prinzip denke ich habe ich verstanden,was du meinst..

ν u r

leider weiß ich nicht,was du meinst mit

1)

Nennernnullstellen

2)

wie ich prüfe ich ob

z = n

ist ? oder halt die anderen gegenbenheiten ?

3)

unsere lehrerin meinte,dass wir die Asymptoten,also plural,finden sollen .. also müssten ja eig mehrer bedingungen zu treffen,aber widerspricht sich das nicht ?

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14:13 Uhr, 13.02.2009

Hi Julia,

zu 1)

Die Nullstellen des Term, der im Nenner steht - hier also t(x²+t²) gleich null setzen und schauen, ob es da welche gibt ;-)

zu 2)

Mit Zählergrad z meint man den höchsten Exponenten, hier also 2 - analog Nennergrad n

zu 3)

SENKRECHTE Asymptoten kann es auch zusätzlich neben den Bedingungen oben immer geben, denn sobald es eine Polstelle gibt (nicht kürzbare Nullstelle im Nenner) gibt es auch eine senkrechte Asymptote. Du musst dir das alles mal auch graphisch vor Augen führen, wenn du magst mache ich das mal für deine Funktion.

Gruß Björn

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20:47 Uhr, 13.02.2009

oh man..

es tut mir ja wirklich leid..
aber ich denke ich verstehe es einfach nicht...

ich weiß nicht genau,was ich machen soll,was ich dann rausbekomme und so weiter und so weiter

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22:50 Uhr, 13.02.2009

Versuche doch mal die Nullstellen von t(x²+t²) zu berechen (Dein obiger Hauptnenner war falsch)

SchokoJulia aktiv_icon

10:48 Uhr, 14.02.2009

okay,also ist mein hauptnenner :

t \cdot (x^{2} + t^{2}) = 0

|durch

t

teilen,weil

t

element von

R +

(x^{2} + t^{2}) = 0 |

die wurzel ziehen

x + t = 0 | - t

x = - t

\to

Nullstelle

: (- t

und

0)

sind die koordinaten

richtig ?

SchokoJulia aktiv_icon

10:54 Uhr, 14.02.2009

also es war in der aufgabe gegeben,dass

t

element von

R +

ist ;-)

hab ich vergessen am anfang zu schreiben...

und nochmal ne frage zum Hauptnenner :

muss ich die nenner miteinander mal nehmen,um auf einen hauptnenner zu kommen ?

\frac{2 x}{x^{2} + t^{2}} + \frac{1}{t}

\frac{2 x \cdot t}{t \cdot (x^{2} + t^{2})} + \frac{x^{2} + t^{2}}{t \cdot (x^{2} + t^{2})}

= \frac{x^{2} + 2 x \cdot t + t^{2}}{t \cdot (x^{2} + t^{2})}

= \frac{{(x + t)}^{2}}{t \cdot (x^{2} + t^{2})}

ist das so richtig?

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13:39 Uhr, 14.02.2009

zu deinem ersten Beitrag:

Ab der 3. Zeile wirds falsch, weil du nicht einfach summandenweise die Wurzel ziehen darfst. Zuerst t² auf die andere Seite bringen und dann die Wurzel ziehen.
Und dann sollte was auffallen ;-)

Zu deinem zweiten Beitrag:

Hier stimmt alles.
Nun musst du erkennen welcher der 4 Fälle, die ich oben erwähnt habe, hier vorliegt.
Dementsprechend gibt es dann eine bestimmten Asymptotentyp, den man entweder durch Polynomdivison erhält oder aber in diesem Fall auch trickreicher direkt ablesen kann.
Aber das sage ich dir dann noch =)

SchokoJulia aktiv_icon

13:48 Uhr, 15.02.2009

Hallöchen ;-)

also,die nullstellen meines Hauptnenners sind falsch,dann versuch ich es nochmal :-P)

t (x^{2} + t^{2}) = 0 |

durch

t

(x^{2} + t^{2}) = 0 | - t^{2}

x^{2} = - t^{2}

\to

keine lösung,weil man aus einer negativen zahl keine wurzel ziehen kann

. .

.

jetzt richtig???

okay,das bedeutet,dass der nenner keine nullstellen hat.aber leider weiß ich nicht,was das mir jetzt bringt??

SchokoJulia aktiv_icon

13:59 Uhr, 15.02.2009

Fragen :

1)

meinst du mit zählergrad bzw nennergrad den exponenten des zählers bzw des nenners?

z . b

\frac{x^{5}}{n^{4}}

wäre dann der zählergrad 5 und der nennergrad 4 ??

2)

in deiner ersten Bedingung sagst du : "Falls

z < n

gilt: Es gibt eine senkrechte Asymptote (Gerade)

x = s

wobei

s

der Nullstelle des Nennerterms entspricht"

\to

kannst du mir dieses Aussage nochmal erklären..? das mit dem

s

macht mir irgendwie probleme..
also was senkrecht bedeutet ist klar

(\to

ist die gerade dann parallel zur y-achse?) aber was du mit dem

x = s

sagen willst,kann ich nur vermuten..
soll das heißen,dass diese Gerade die x-achse bei

s

schneidet,also der nullstelle des nennerterms ??

hoffe,dass ich das richtig verstanden habe..
und dass du noch nicht allzu genervt bist,von meinen doofen fragen

liebe grüße ;-)

BjBot aktiv_icon

14:47 Uhr, 15.02.2009

Hey Julia,

zu deinem ersten Beitrag:

Das stimmt nun soweit alles. Was dir das bringt ? Naja jetzt weisst du eben dass es KEINE senkrechten Asymptoten geben kann, da keine Polstelle vorliegt.

zu deinem zweiten Beitrag:

zu 1)

Ja, das meine ich...genauer meine ich den GRÖßTEN auftauchenden Exponenten (wenn die Terme aus mehreren aufsummierten Potenzen bestehen)

zu 2)

Hast du genau richtig verstanden.
Zur Veranschaulichung poste ich mal ein Beispiel für die Funktion f(x)=1/(x-1)
Hier ist ja offensichtlich die Nullstelle des Nenners s=1 (s habe ich einfach als Namen der Nullstelle erfunden, ich hätte auch

x_{s}

oder

x_{0}

oder sowas als Bezeichnung wählen können)

Du nervst sicher nicht, keine Bange ;-)
Hast du bereits rausgefunden um welchen Fall es sich bei der Aufgabe handelt und welcher Asymptotentyp hier vorliegt ?

Gruß Björn

SchokoJulia aktiv_icon

15:18 Uhr, 15.02.2009

hey björn ;-)

also bei meinem beispiel, ist

z = n

also gibt es waagerechte asymptote...
ist bestimmt eine paralle zur x-achse oder? :-P)

1)

mhmm,und die asymptote berechne ich jetzt durhc polynomendivision von zähler und nenner ?

f (x) = \frac{{(x + t)}^{2}}{t \cdot (x^{2} + t^{2})}

(x^2+2xt+t^2) : (tx^2+t^3)

\to

aber jetzt komm ich leider schon wieder nicht weiter

: (

SchokoJulia aktiv_icon

15:31 Uhr, 15.02.2009

dein beispiel kann ich sehr gut nachvollziehen,
aber eine frage hab ich doch noch ;-)

2)

der graph der funktion nähert sich der x-achse ja auch nur an..
ist dann da nicht noch ne zweite asymptote..weil er die x-achse ja nicht schneidet,sich ihr nur annähert

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16:10 Uhr, 15.02.2009

Erster Beitrag:

Stimmt alles.
Was erhält man denn wenn man x² durch tx² dividiert ?
Oben sprach ich ja an, dass in dem Fall wenn z=n gilt auch eine Vereinfachung möglich ist, und man damit auch eine Polynomdivison umgehen kann.
Die waagerechte Asymptote (Parallele zur x-Achse) y=w entspricht in diesem Fall nämlich einem Quotienten a/b wobei a der Faktor vor der höchsten Potenz im Zähler ist (hier also der Faktor vor x²) und b dem Faktor vor der höchsten Potenz im Nenner (hier auch der Faktor vor x²)

Zweiter Beitrag:

Entschuldige, ich habe mich für den Fall z<n vertan.
In diesem Fall gibt es nicht automatisch eine SENKRECHTE Asymptote, sondern automatisch eine WAAGRECHTE Asymptote, aber eine ganz spezielle, nämlich y=0, also die x-Achse.Das kommt daher, da für z<n der Nennerterm schneller gegen unendlich strebt als der Zählerterm, weil eben sein Grad größer ist. Insgesamt strebt der ganze Bruchterm damit gegen null ---> y=0

Das mit den senkrechten Asymptoten ist unabhängig von z und n, es kommt da nur auf die Nullstelle des Nennerterms an.

Björn

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16:34 Uhr, 15.02.2009

huhuuu,
also immer bei

z < n

gibt es eine waagerechte asymptote und zwar die x-achse ?

an deinem beispiel habe ich es gut verstanden..

um jedoch auf meins zurückzukommen...
weiß ich es leider immer noch nicht

: (

das mit dem direkt ablesen leutet mir noch nicht ein..
und bei der PD komm ich leider auch nicht weiter..

würdest du mir bitte,bitte nochmal helfen :-)

SchokoJulia aktiv_icon

16:40 Uhr, 15.02.2009

wenn du das beispiel mit dem quotienten bringst,
kommt ja für

a = 1

(weil wir ja den faktor des höstens exponenetn des zählers nehmen, also

1 \cdot x^{2})

und für

b = 1

(weil wir ja den faktor des höstens exponenetn des nenners nehmen, also

1 \cdot t^{3})

dann habe ich den quotienten

\frac{1}{1} \Rightarrow 1

bedeutet das,dass meine waagerechte asymptote durch

y = 1

als paralle zur x-achse geht ??

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16:54 Uhr, 15.02.2009

Wegen dem Fall z<n:

Ja,so meinte ich das =)

Zu deinem Beispiel:

a ist richtig, b leider noch nicht, wobei du dich im Prinzip auch nur Wort für Wort an meine Anleitung gehalten hast ;-)
Ich meine nämlich nur die Potenzen, die auch von x abhängen, weil es ja eine Funktion "f von x" ist. Insofern musst du auch hier auf den Summanden gucken, der die Potenz mit dem größten Exponenten darstellt ---> tx²

Die Polynomdivision zeige ich dir jetzt einfach mal exemplarisch, um zu verdeutlichen, dass dasselbe Ergebnis bzw dieselbe Asymptote rauskommt:

.(x²+2xt+t²) : (tx²+t³)=1/t
-(x²+t²)
------------
...2tx-t²+t²

Und an der Stelle ist schon Schluss, weil man das (bei Asymptotenbestimmungen) nur solange macht, bis der Grad des Resterms (hier 2tx) größer oder gleich dem "Teilerterm" (hier tx²+t³) ist (immer nur auf x schauen, nicht auf t-Potenzen)

SchokoJulia aktiv_icon

17:18 Uhr, 15.02.2009

ach mensch,du kommst mir vor wie ein engel..^^

also,das mit dem

\frac{1}{t}

habe ich jetzt verstanden..
das ist also meine asymptote..?
bedeutet das,dass meine waagerechte asymptote bei

y = 1

als paralle zur x-achse geht,wenn ich für

t = 1

einsetze ??

kannst du mir das vielliecht sogar noch visualisieren,wenn

t = 1

ist...
weil ich habe leider keine vorstellung,wie wodurch denn jetzt genau die asymptote (ver-)läuft...

mit der PD ist eig auch alles klar,aber ma ende meintest du wohl eher bis der grad des resteterms (hier 2tx) KLEINER oder gleich dem des "teilerterms" (hier tx^2+t^3)

weil der grad des restterms ist doch 1 und der des teilerterms ist 2 ?

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17:33 Uhr, 15.02.2009

Genau, y=1/t ist deine (waagerechte) Asymptote, genau das meinte ich oben mit dem "ganzrationalen Anteil" nach der Polynomvision PD. Wenn man die PD noch weiter führen würde, dann gäbe es nur noch gebrochenrationale Terme, die für die Asymptotenberechnung uninteressant sind.

Wenn du mal auf deine Ausgangsfunktion ganz oben schaust, dann steht es da im Prinzip auch schon da, nur vielleicht nicht ganz einfach ersichtlich direkt zu folgern, dass es bei dieser Form schon um das Ergebnis nach eine PD handelt...

Ich meinte schon dass man die PD nur solange wiederholen sollte, so lange auch der Restterm immer nur aus Potenzen besteht wo der größte Exponent größer oder gleich dem Exponeten der größten Potenz im "Teilertem" ist. Ich denke du weisst was ich meine oder ;-)

Das Programm, was ich hier verwende, kannst du dir auch kostenlos hier runterladen - ist wirklich sehr hilfreich:

http//www.chip.de/downloads/GeoGebra_20747798.html

SchokoJulia aktiv_icon

17:47 Uhr, 15.02.2009

Ich meinte schon dass man die PD nur solange wiederholen sollte, so lange auch der Restterm immer nur aus Potenzen besteht wo der größte Exponent größer oder gleich dem Exponeten der größten Potenz im "Teilertem" ist. Ich denke du weisst was ich meine oder ;-)

\to

das vertshe ich leider noch nicht ganz...
weil der restterm ist doch 2tx und der teilerterm tx^2+t^3
potenz des restterms

= 1

und die potenz des teilerterms

= 2

damit ist die des restterms doch nicht größer ???

und es war jetzt kein zufall,dass

\frac{1}{t}

schon in der funktion gegeben war von anfang an..
kann ich mich darauf verlassen auch bei anderen aufgaben ??

danke vielmals für das programm...werds mir gleich mal runterladen und ausprobieren :-))

eine kleine frage nach..
wenn ich die funktion auf einem Hauptnenner bringe ist es dann das gleich wie vorher ??
also für eine komplette kurvendiskussion kann ich die funktion doch auf einen Hauptnenner bringen, statt mit den beiden einzelteieln zu rechnen oder ?

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18:01 Uhr, 15.02.2009

Ist schon richtig wie du es schreibst mit der PD...ich meine es genauso, habe es nur andersrum formuliert, also bezogen auf "wie lange soll man die PD machen" und du hast geschrieben "ab wann soll man keine PD mehr machen" ---> meint aber dasselbe =)

Mache es zur Sicherheit lieber so wie gehabt indem du alles auf einen Nenner bringst.
Im Endeffekt kann man im obigen Funktionsterm

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + t^{2}} + \frac{1}{t}

auch mal schauen, was passiert wenn dieser Funktionsterm gegen plus/minus unendlich strebt, je nachdem wieviel Erfahrung du mit Grenzwerten hast.
Der erste Summand entspricht ja einer gebrochenrationalen Funktion mit z<n und dieser hat ja schonmal als waagerechte Asymtote in jedem Fall y=0, was gleichzeitig soviel bedeutet wie dass dieser Term schonmal gegen null strebt.
Bleibt also nur noch der von x unabhängige zweite Summand 1/t übrig bei dieser Grenzwertbetrachtung.

Ob du deinen Term auf einen Nenner bringst oder nicht ist egal =)

SchokoJulia aktiv_icon

18:10 Uhr, 15.02.2009

ach bjöörn,
danke danke vielmehrs..
würden wir usn jetzt kennen,würde ich dir zu dank einen kuchen backen oder so,weil du dir so viel mühe und zeit mit mir gegeben hast!!! :-)

diese quotientenregel ist ja echt hilfreich von wegen

\frac{a}{b} . .

.
schade dass es nur bei einer waagerechten asymptote anwendbar ist..

wünsch dir auf jeden fall noch einen schönen sonntag!!

liebe grüße julia :-)

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18:13 Uhr, 15.02.2009

Das freut mich wenn es dir geholfen hat.
Lieb von dir dass du dich so nett bedankst =)

Ich wünsche dir weiterhin viel Erfolg.

Gruß Björn

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