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Bernoulli Ungleichung für rationale Exponenten

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

Khokta aktiv_icon

13:12 Uhr, 27.04.2015

Hallo! Also ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie die Gültigkeit der Bernoulli-Ungleichung für rationale Exponenten:

{(1 + x)}^{s} \geq 1 + s x

für

x > - 1

und

s \in ℚ, s > 1

Hinweis: Sie dürfen die Bernoulli-Ungleichung für

s \in ℕ

verwenden.

Ich weiß jetzt nicht, was ich mit diesem Hinweis anfangen soll. Ich soll die Aussage ja für rationale Exponenten zeigen, was bringt mir hier also ein Beweis für die natürlichen Zahlen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

14:26 Uhr, 27.04.2015

Mit dem Hinweis kann ich auch nicht viel anfangen,
aber es geht auch anders:
http//vixra.org/pdf/1205.0068v1.pdf

DerDepp aktiv_icon

16:21 Uhr, 27.04.2015

Hossa :-)

Den Hinweis würde ich wie folgt verwenden. Wenn der rationale Exponent

s

eine natürliche Zahl ist, sind wir fertig. Daher können wir für den Beweis annehmen, dass es eine Zerlegung von s gibt mit

s = n + α; n \in N; α \in Q, 0 < α < 1

und wir müssen nur noch zeigen, dass die Bernoulli-Ungleichung für

α

gilt, dass also:

(1 + x)^{α} \geq 1 + α x; x > - 1, 0 < α < 1

Denn dann gilt auch:

(1 + x)^{s} = (1 + x)^{n + α} = (1 + x)^{n} \cdot (1 + x)^{α} \geq (1 + n x) \cdot (1 + α x) = 1 + (n + α) x + α n x^{2} \geq 1 + (n + α) x = 1 + s x

DrBoogie aktiv_icon

16:25 Uhr, 27.04.2015

Das Problem ist, dass Du zwei Ungleichungen in entgegengesetzte Richtungen hast:

(1 + x)^{n} \geq (1 + n x)

für natürliche

n

und

(1 + x)^{a} \leq (1 + a x)

für

0 < a < 1

.

Sie kann man nicht so einfach kombinieren.

DerDepp aktiv_icon

16:29 Uhr, 27.04.2015

Ja, hab ich auch gerade gemerkt... ;-)
Aber zumindest kann man auf eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 beschränken.

DrBoogie aktiv_icon

16:30 Uhr, 27.04.2015

Für

0 < a < 1

gilt

(1 + x)^{a} \leq (1 + a x)

, nicht umgekehrt.

Ich kenne keinen einfachen allgemeinen Beweis dafür, aber für

a = 1 / n

geht es so:

(1 + \frac{x}{n})^{n} \geq (1 + n \frac{x}{n}) = (1 + x)

1 + \frac{x}{n} = \sqrt[n]{(1 + \frac{x}{n})^{n}} \geq \sqrt[n]{1 + x} = (1 + x)^{1 / n}

DrBoogie aktiv_icon

16:31 Uhr, 27.04.2015

"Aber zumindest kann man auf eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 beschränken."

Kann man zwar, aber aus Deinem Argument folgt es nicht.

DerDepp aktiv_icon

10:32 Uhr, 28.04.2015

Hallo again :-)

Ich habe den Beweis aus der PDF-Datei von DrBoogie nachvollzogen, aber noch eine Frage dazu. In dem Beweis wird mittels der AGM-Ungleichung zunächst gezeigt, dass gilt:

(1 + x)^{p / q} \leq 1 + \frac{p}{q} x; x \geq - 1, p \leq q

Dann exponenziert man beide Seiten der Ungleichung mit

q / p

und erhält:

1 + x \leq {(1 + \frac{p}{q} x)}^{q / p}

Dann subsituiert man:

x = \frac{q}{p} y

1 + \frac{q}{p} y \leq (1 + y)^{q / p}

und setzt schließlich:

s = \frac{q}{p}

1 + s y \leq (1 + y)^{s}

Nun meine Verständnisfrage:

Die Anwendung der AGM-Ungleichung setzte voraus, dass

x \geq - 1

gilt. Das heißt für y:

y = \frac{p}{q} x \geq - \frac{p}{q} = - \frac{1}{q / p} = - \frac{1}{s}

Wir haben also gezeigt, dass gilt:

1 + s y \leq (1 + y)^{s}; y \geq - \frac{1}{s}, s \geq 1

Es sollte aber doch gezeigt werden, dass folgende Ungleichung gilt:

1 + s y \leq (1 + y)^{s}; y \geq - 1, s \geq 1

Denke ich zu kompliziert, habe ich was übersehen oder ist der Beweis noch nicht vollständig?

DrBoogie aktiv_icon

10:44 Uhr, 28.04.2015

Das ist richtig, die Ungleichung

(1 + s y) \leq (1 + y)^{s}

ist damit nur für

y \geq - \frac{1}{s}

gezeigt worden.

Aber für

- 1 \leq y \leq - \frac{1}{s}

ist sie trivialerweise erfüllt:

(1 + s y) \leq 0 \leq (1 + y)^{s}

.
Damit gilt sie für alle

y \geq - 1

DerDepp aktiv_icon

10:51 Uhr, 28.04.2015

Jetzt passt alles zusammen...
Wenn man sich mit den Kleiner- und Größer-Zeichen nicht verfummelt, ist es ein schöner Beweis!
Danke fürs Zeigen ;-)

lisalimes aktiv_icon

11:18 Uhr, 28.04.2015

Frage: warum setzt du einmal

s = \frac{p}{q}

und später

s = \frac{q}{p}

? Kannst du das erklären?

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 28.04.2015

Wenn es Dir nicht gefällt, kannst Du zweites

s

durch

r

oder was Anderes ersetzen. Es ist sowieso nur ein Buchstabe. :-)

Was ich meine - beide

s

haben nichts miteinander zu tun. Das sind nur Bezeichnungen.

lisalimes aktiv_icon

11:23 Uhr, 28.04.2015

Danke vielmals :-D) das hat uns sehr weitergeholfen! :-D)

Khokta aktiv_icon

18:29 Uhr, 29.04.2015

Hallo, danke für eure Beiträge!
Nach den ausführlichen Erklärungen hat sich die Frage erledigt!

Lg Khokta

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