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Bernoulli Ungleichung (vollständige Induktion)

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulli Ungleichung, Beweis, Vollständig Induktion

Leyanthal aktiv_icon

16:23 Uhr, 11.12.2012

Halloo,

ich hab hier eine Aufgabe, die so ähnlich aussieht wie die Bernoulli Ungleichung. Diese soll ich mit vollständiger Induktion lösen. Das habe ich soweit auch gemacht, jedoch als ich versucht habe nach der Lösung zu googlen fand ich sogut wie nie konkrete Zwischenschritte und möchte daher wissen, ob meine "Zwischenschritte" denn so korrekt sind.

${(1 + a)}^{n} \geq 1 + {n a + (n - 1) a}^{2}, n \geq 1, a \geq - 1 B e w e i s m i t t e l s v o l l s t ä n d i g e r I n d u k t i o n {(1 + a)}^{n + 1} = {(1 + a)}^{n} * {(1 + a)}^{1} \geq 1 + n a + {(n - 1) a}^{2} * {(1 + a)}^{1} = {1 + n a + (n - 1) a}^{2} + a + {n a}^{2} + {(n - 1) a}^{3} = 1 + n a + 2 n a^{2} - a^{2} + a + n a^{3} - a^{3} = 1 + a^{2} (2 n - 1 + n a - a) + n a + a = 1 + a^{2} (2 n + n a - a - 1) + a (n + 1) > 1 + a^{2} (2 n + n) + a (n + 1) > 1 + a^{2} n + a (n + 1)$

mein Problem ist jedoch das "kleiner gleich". Wann weiß ich, wann etwas kleiner ist und wann etwas.. kleiner gleich ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

tommy40629 aktiv_icon

22:09 Uhr, 12.12.2012

Hey, wann etwas kleiner oder kleiner gleich ist, dass kann man mit Äquivalenzrelationen zeigen.

"<" ist wenn ich mich nicht täusche auch eine Äquivalenzrelationen.

Prof Spannagel hat auf Youtube dazu einige Videos, und der Mann kann Mathe wirklich erklären. Mußt Dir nur die Zeit nehmen und es anschauen.

Und Ungleichungen beweißen das kann man leicht, wenn man die Anschätzungen im Schlaf kann. Für das Thema gibt es leider keine Quellen, weder im Netz noch Bücher. Vielleicht einen netten Prof, der auch sehr viel Zeit hat, um es zu erklären.

Leyanthal aktiv_icon

22:20 Uhr, 12.12.2012

vielen Dank. Ich versuche mich mal morgen damit zu befassen direkt nach der Uni. Aber dazu gibt es echt keine Literatur oder ähnliches? Das ist doch bitter... naja. Muss ich eben durch :)

ich lass das mal offen, werde mich dazu nochmal äußern.

Underfaker aktiv_icon

12:28 Uhr, 14.12.2012

Da ich das gerade sehe und nur der Vollständigkeit halber: "<" ist natürlich keine Äquivalenzrelation, lediglich die Transitivität ist gegeben, der Rest nicht.

Wann etwas kleiner oder kleiner/gleich ist hängt von den Voraussetzungen ab.
Wenn nach IV gilt, dass

a = b

dann ist wohl

a < b + 1

Wenn aber

a \leq b

ist dann sicher auch

a + 1 \leq b + 1

Du musst also schauen wo wird wie operiert und bleiben dann beide Seiten (vom prinzip) "gleichwertig" oder passiert auf einer Seite etwas anderes als auf der anderen.

Wenn man bspw.Zeigen will, dass

\forall n \in ℕ

und

n \geq 2 : n^{2} > n

dann wäre der Induktionsschluss:

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1 > n^{2} + 1 > n + 1

immerhin wäre hier

n^{2} + 1 +

etwas (nämlich

2 n)

größer als

n^{2} + 1

und

n^{2}

nach Voraussetzung ja größer als

n

.

Hätten wir Folgendes zeigen wollen:

n^{2} \geq n

mit

n \in ℕ,

dann:

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1 > n^{2} + 1 \geq n + 1

Mit derselbern Begründung wie oben gilt:

n^{2} + 2 n + 1 > n^{2} + 1

Nach Voraussetzung ist nun aber

n^{2} \geq n,

deshalb ersetzen wir auch nur das.

Sicherlich kein perfektes Beispiel aber vielleicht hilft es dir ja.

Leyanthal aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.12.2012

vielen vielen Dank. Hätte mich erst jetzt mit den Videos auseinandergesetzt, da ich gestern doch nicht die Zeit gefunden habe.

Ich denke, ich hab das jetzt verstanden. Ich muss dann halt einfach schauen was die Voraussetzung ist. Werde dann beim Lösen solcher Aufgaben jetzt vermehrt auf sowas achten.

Dann werde ich das hier mal schliessen :)

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