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(Beschränktes Wachstum) - Wachstumskonstante K

Schüler Gymnasium,

Tags: abnahme temperatur, Beschränktes Wachstum, Differenzialgleichung, Negativ, Wachstum, Wachstumskonstante k, Zunahme

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21:29 Uhr, 05.11.2013

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe vorliegen:
Eine Flasche Saft mit der Temperatur 8° wird aus dem Kühlschrank genommen und auf den Gartentisch gestellt, wo eine Außentemperatur von 30° herrscht. Nach

12

Minuten beträgt die Temperatur des Saftes 15°.
a)Experimente zeigen, dass die Safttemperatur nach den Gesetzen des beschränkten Wachstums steigt. Was bedeutet das für die Änderung der Safttemperatur? Hilfe? Was ist gemeint?!
b)Stellen sie eine Funktion

f

für die Temperatur des Saftes nach

x

Minuten auf. (wird gemacht, siehe unten.)
c)Chris will den Saft schon nach 5 Minuten trinken. Ist er dann nicht noch zu kalt?

d)

Oma will den Saft erst bei einer Temperatur on 20° trinken. Wie lange muss sie warten?

e)

wann erwärmt sich der Saft um 0,5° pro Minute?

Meine Ideen:

a)

ich verstehe die Fragestellung nicht.

b)

krieg ich folgendermaßen hin, allerdings verstehe ich die Musterlösung nicht.

f (0) = 8

S = 30

f (12) = 15

a = - (30 - 22)

(muss doch negativ sein, da Zunahme?)

ich füge in die Funktion

f (t) = S + a \cdot e^{k} \cdot t f (12) = 15

ein:

15 = 30 - 22 \cdot e^{k} \cdot 12

- \frac{15}{- 22} = - e^{12} k

ln (\frac{15}{22}) = 12 k

- 0 . \frac{383}{12} = k

- 0.0319 = k

Warum ist

k

negativ? Es handelt sich doch um eine Zunahme, folglich müsste

k > 0

sein. In der Musterlösung ist von Anfang schon "bekannt" dass

k

negativ ist, daher steht bereits in der Gleichung 3^(12*-k).Woher weiß man das? Nach meinem derzeitigen Kenntnisstand bin ich immer von ausgegangen dass

K

bei Wachstum positiv, also größer Null sein muss, und a bei einem Wachstum negativ. Andersherum muss

K

bei einer Abnahme negativ, und a positiv sein. Bei der Safttemperatur müsste es sich doch aber um eine Zunahme handeln?!
Es wäre schön, wenn jemand mir eine aufschlussreiche Antwort geben kann. Gruß Björn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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21:40 Uhr, 05.11.2013

Du hast doch sicher schon in Dein Schulbuch geschaut und/oder gegoogelt, was "Beschränktes Wachstums" ist.
Wenn nein, so hole dies bitte nach nach.

zu

a)

Wie warm wird der Saft maximal ? Gibt es eine obere Temperaturgrenze (obere Schranke)?

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21:54 Uhr, 05.11.2013

der Saft wird, wie in

b)

bereits geschrieben maximal 30°. Was beschränktes Wachstum ist, weiß ich. Die Steigung wird umso näher man der Schranke kommt, immer geringer bzw. nähert sich immer weiter

0,

während

f (x)

sich immer weiter der Schranke

S

nähert.
Nun aber zum eigentlichen Problem. warum ist

k

negativ?

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21:54 Uhr, 05.11.2013

der Saft wird, wie in

b)

bereits geschrieben maximal 30°. Was beschränktes Wachstum ist, weiß ich. Die Steigung wird umso näher man der Schranke kommt, immer geringer bzw. nähert sich immer weiter

0,

während

f (x)

sich immer weiter der Schranke

S

nähert.
Nun aber zum eigentlichen Problem. warum ist

k

negativ?

Ma-Ma aktiv_icon

22:03 Uhr, 05.11.2013

Gut. Beschränktes Wachstum hat also eine obere Schranke und somit kannst Du

a)

beantworten.

Das

k

werden wir jetzt ausrechnen.
(Beachte, wenn

k

positiv, so würde der Graph ja ins Unendliche steigen, wie

z . B

. bei

f (x) = e^{x} .)

- - - - - - - - - -

Erster Schritt: Wir nutzen

f (t = 0) = 8

und

S = 30

8 = 30 + a \cdot e^{k \cdot 0}

Kannst Du diese Formel vereinfachen und nach a umstellen ?
(Beachte Potenzgesetze:

x^{0} = 1)

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22:05 Uhr, 05.11.2013

8 = 30 + a

8 - 30 = a

a = - 22

Ma-Ma aktiv_icon

22:08 Uhr, 05.11.2013

Perfekt.

Nun nehem wir die nächste Bedingung.

f (t = 12) = 15

15 = 30 - 22 \cdot e^{k \cdot 12}

Jetzt

- 30,

dann dividiert durch

22,

anschließend

ln

.
Was hast Du jetzt ?

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22:15 Uhr, 05.11.2013

Und ja, Du hast in Deinem Startpost schon alles richtig eingesetzt und ausgerechnet !

k = - 0,0319

Warum negativ ?
Wie oben bereits beschrieben: Wenn

k

positiv, dann UNBEGRENZTES exponentielles Wachstum.

z . B

f (x) = e^{x}

Durch das negative

k

ist die Funktion begrenzt und der Graph nähert sich einem Grenzwert.
Idealerweise machst Du Dir dazu mal eine Wertetabelle und Skizze oder lässt es online zeichnen.

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22:41 Uhr, 05.11.2013

also beachte ich

k

in meiner "ausgangsformel" erstmal als nicht negativ an? Das

K

muss bzw. sollte einen negativen Wert ergeben, sonst stimmt etwas nicht, ist das richtig?
also gehe ich um

k

zu ermitteln immer bei einem nach oben begrenzten Wachstum so vor:

f (t) = S - (s - (f 0)) \cdot e^{k} \cdot t

oder gehe ich direkt von einem negativen

k

aus?

Danke erstmal!

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22:53 Uhr, 05.11.2013

1)

Ausgangsformel: Nehme einfach nur

k

. Das entsprechende Vorzeichen ergibt sich beim Ausrechnen von selbst.

2)

Du kannst bei der Ausgangsformel auch gleich MINUS

k

einsetzen, dann wird Dein berechneter k-Wert positiv. Da Minus davorsteht, ist er aber damit auch wieder negativ.

(In Deinem Ausgangspost ist da ein bissl KuddelMudel in der Rechnung.)

Deine gepostete Formel kann (und will) ich nicht nachvollziehen.
Bleibe bei der Standardformel für beschränktes Wachstum:

f (x) = S + a \cdot e^{k \cdot t}

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Magst Du noch die Ergebnisse von

c), d)

und

e)

vergleichen ?

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