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Bestimmen der Basis von U
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Matrizenrechnung
Vektorräume
Tags: Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum
 
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Guten Tag, Bei der folgenden Aufgabe verwirrt mich die "Musterlösung" etwas, vielleicht kann einer von euch Licht ins Dunkle bringen. Bild 1: Aufgabe Bild 2: Musterlösung Teil 1 Bild 3: Musterlösung Teil 2 Der Aufgabenteil spielt dabei keine große Rolle. Wie in der Aufgabe steht, geht es darum aus dem gegebenen Erzeugenensystem die Basis auszuwählen. Meine Vorgehenweise wäre: - Vektoren als Zeilen in eine Matrixs schreiben - Umformen und die Zeile mit nur 0er strichen. Die Vektoren die über bleiben sind linear unabhängig und damit die Basis. In der Musterlösung wird dies auch gemacht. Nur wird anschließend werden die Ursprünglichen Vektoren nochmal in Spaltenschreibweise hingeschrieben und es wird mit Umformen etc. eine neue Basis ausgewählt. Habe ich das richtig verstanden, dass das einfach eine Alternative zum ersten Teil ist ? Oder sehe ich das irgendwie falsch. Unabhängig davon habe ich eine Frage zu der Spaltenschreibweise. In der Aufgabe (Teil 2 mit Spaltenschreibweise) wird ja sowohl Spalte UND Zeile gestrichen. Kann mir jemand nochmal erklären warum man das machen darf oder hat einen Link wo dieser Schritt erklärt wird ? Liebe Grüße    Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, mal ganz kurz: Die Methode mit den Zeilen ist eine Möglichkeit irgendeine Basis für Unterraum zu finden, der von aufgespannt wird - warum das so ist, habt Ihr hoffentlich irgendwann gelernt. Die Methode mit den Spalten ist eine Alternative, die direkt von der Definition der linearen Unabhängigkeit ausgeht. Sie dann angewandt werden, wenn verlangt ist aus der gegebenen Erzeugermenge eine Basis auszuwählen, hier . In Deinem Beispiel ergibt das Gleichungssystem, dass es mehrere Lösungen gibt. Speziell kann man eine auswählen, so dass ist. Das liefert dann eine Darstellung von als Linearkombination der anderen. Der Verfasser der Lösung hat dann die 3. Spalte (nicht gelöscht, wie Du schreibst) sondern auf die "rechte Seite" geschrieben - das ist nur Geschmackssache. Wie immer gilt: Man ist nur dann auf der sicheren Seite, wenn man weiß, was man tut. Gruß pwm |
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Hey, danke für die Antwort. Ein bisschen verwirrt bin ich von der Anwort, bzw von dem "muss". Ist es denn jetzt eine alternative und beides ist korrekt oder muss ich beides anwenden ? Die Idee hinter der Spaltenschreibweise ist mir eigentlich bewusst. Wenn wir in Zeilen schreiben, können wir linear unabhängige Zeilen finden bzw die abhängigen streichen. In der Spaltenschreibweise Stellen wir einen linear abhängigen Vektor als Ergebnissvektor eines Gleichungssystems. In der Form von Ax . Hier ist der Vorteil, dass wir dann auch direkt die Koeffizienten ablesen können. Das ist aber in der Aufgabe nicht gefordert. Sondern nur die Basis. Du sagst es ist eine alternative, muss aber beim Erzeugendensystem angewendet werden. Das Erzeugendensystem ist ja auch ein Unterraum. Darf ich jetzt entscheiden welches Verfahren ich nehme oder muss ich beide hintereinander anwenden, dass ist mir nicht ganz klar. Lg |
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Oder anders Formuliert: Wenn ich das "Zeilenverfahren" anwende, ist das was über bleibt ja zwangsläufig eine mögliche Basis, wieso also der 2te Schritt mit den Spalten ? Lg |
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Hallo, das "muss" war vielleicht etwas hart. Jedenfalls kann man aus der zweiten Variante ableiten, wie sich einer oder mehrere der Vektoren als Linearkombination darstellen lassen. Wenn nur nach einer Basis gefragt ist, kann man eines der beiden Verfahren anwenden. Ob Deine Lösung einfach nur 2 Wege vorstellen soll, oder der / die Lösende noch weitere Informationen daran illustrieren wollte, kann ich nicht wissen. Gruß pwm |
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Alles klar, danke! :-) |
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Für die Definition des Begriffs Basis verweise ich auf Wiki: SATZ und DEFINITION Eine Familie von vektoren heißt Basis, wenn eine der vier folgenden äquivalenten Aussagen erfüllt ist: Eindeutig Erzeugendes Minimales Erzeugendes Linear unabhängiges Erzeugendes Maximal linear Unabhängiges Hausaufgabe: Bitte auswändig lernen; nähere Erläuterungen und alle Beweise auf Wiki . Ich geb ja zu; ich habe bei Wolfram gespickt. Solche Aufgaben haben es ja an sich, dass der Rang immer ist. Also versuchte ich es zunächst mit die sich noch als abhängig heraus stellten. Da Zude eine Familie aus drei Vektoren angibt, muss ich doch weiter nichts tun, als im Sinne von Punkt eine maximal linear unabhängige Kombination auswählen; gleich erwies sich als Treffer. ( ganz tiefer Griff in die Theorie. Auf Grund des Austauschsatzes von Steinitz stellt die Dimension eine Invariante dar; ich brauch keine Linearkombination ( LK ) bilden. Eine Basis finde ich immer schon unter den Ausgangsvektoren. ) Im Übrigen gillt hier die Aktion " lieber Gott " Woher du die Basis hast, intressiert hier gar nicht; die kann dir ja der liebe Gott verraten haben. Du schreibst sie einfach auf deinen Lösungszettel, den du abgibst. Die eigentliche Arbeit besteht nachher in dem Beweis, dass es sich auch tatsächlich um eine Basis handelt. Uns stehen ja vier alternative Kriterien zur Verfügung; trotzdem will ich alle vier vorstellen, um zu sehen, wie sie sich auswirken. Noch eine Anmerkung in eigener Sache; da ich eine Vorliebe für primitive Vektoren hege, setze ich Unter Punkt ist von einem " Erzeugenden " die Rede; im Hinblick auf heißt das offenbar, wir müssen ausdrücken als LK ( In wurde von der Einsteinschen Indexkonvention Gebrauch gemacht. ) Auch hier gilt wieder die Aktion Lieber Gott. Unsere Assistenten brachten uns bei, wenn du linear Abhängig nachweisen sollst, gibst du einfach die LK an; keine große Rechnerei. Und - oh Wunder liegt bereits in der von aufgespannten Ebene. Jetzt ist aber von einem eindeutig Erzeugenden die Rede. Und da würde man doch ganz naiv annehmen: Wir müssen das LGS aufstellen, dass die Zerlegung von eindeutig ist. Das ist aber ein Trugschluss; dieser Eindeutigkeitsvorbehalt gilt auch für die drei Basiscvektoren. Das heißt doch konkret ist nicht darstellbar als LK von sonst wäre es ja nicht eindeutig. ) ist nicht darstellbar als LK von Analog für In anderem Zusammenhang mag Kriterium ja was bringen; aber uns nicht. Denn Aussagen sind genau das, was unter Ziffer gemeint ist mit Minimalität des Basissystems; die Eindeutigkeit der LK von erweist sich für unseren Beweis als völlig überflüssig. Minimalität von prüfen wir nach mittels des LGS ( 3ab ) führt auf die Lösung im Widerspruch zu ( 3cd ) Wenn man bedenkt, dass wir dieses Spielchen noch für und wiederholen müssen, ist es deutlich suboptimal; sein aufwand wächst mit der Dimension. Dieses Kriterium ist nur brauchbar für Funktionenräume, wo wir wissen, dass die Basisfunktionen in einem gesetzmäßigen Zusammenhang stehen. Dagegen Punkt linear unabhängiges erzeugendes. Das kennt ihr; Erzeugendes hatte wir ja schon in ( 2ab ) . Ich schreibe jetzt das LGS für lineare Unabhängigkeit an: Dieser Divisionstrick ist meine Marke Eigenbau Spezialpatent; er erschlägt gleich drei Fliegen mit einer Klappe: Wir führen einen Widerspruchsbeweis; denn hinter dieser Division verbirgt sich die Annahme, dass es eine nicht triviale LK gibt mit . ii) Zwei Unbekannte erweisen sich als beherrschbar wird eliminiert. ) iii) Trotz Division bleibt das GS linear, da ja rechts Null steht. Ich führe noch die neuen Unbekannten ein In den µ lautet nunmehr Gleich ( 6ab ) widersprechen sich 4ac ) lässt nur die triviale Lösung zu. Unterpunkt ist schnell abgehandelt; maximal linear unabhängig. So bald du also noch mit dazu nimmst, wird es abhängig; Hinweis: ( 2ab ) |
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