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Beweis: Abfolge bei Dreieckszahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: Beweis, Dreieckszahl, Gerade, Ungerade
 
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Hallo, Ich soll beweisen, dass die Abfolge bei Dreieckszahlen immer ungerade, ungerade, gerade, gerade, ungerade, ungerade... ist. Eigentlich ist es ja klar. Ich fange mit einer ungeraden Zahl an und addiere dann . hinzu, um zur nächsten zu kommen. Dh bei der ersten Zahl habe ich eine ungerade Zahl und addiere eine gerade Zahl hinzu und bekomme wieder eine ungerade. Dazu addiere ich eine ungerade hinzu und erhalte eine gerade... Aber wie beweise ich das? Danke im Voraus! Liebe Grüße, Finchen Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) |
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Hallo du musst genau definieren, wie aus einer Dreieckszahl die nächste wird, bzw wie Dreieckszahlen definiert sind, kennst du die Gaußsche Summenformel für damit kannst du auch argumentieren, oder mit vollständiger Induktion, aber dann brauchst du 3 Anfangsglieder, Gruß ledum |
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Hmm...wie kann ich denn mit der gaußschen Summenformel argumentieren? Eine Dreieckszahl ist ja definiert als Dn= was ja der gaußschen Summenformel entspricht. Doch wie hilft mir das nun weiter? |
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Hallo, für n gibt es 4 mögliche Fälle: n=4k -->Term n*(n+1)/2 ist gerade n=4k+1 -->Term n*(n+1)/2 ist ungerade n=4k+2 -->Term n*(n+1)/2 ist ungerade n=4k+3 -->Term n*(n+1)/2 ist gerade. (Dabei ist k jeweils eine ganze Zahl. Gerade ist der Term jeweils, wenn n oder n+1 durch 4 teilbar ist.) |
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Wie komme ich denn darauf, dass es genau diese Werte für bei den einzelnen Fällen gibt? Gruß, Finchen |
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Um eine gerade Zahl darzustellen, legt man fest, dass und Die Dreieckszahlen werden so berechnet: Nun stelle die Bedingung für gerade Dreieckszahlen auf: setze ein: vereinfache: woraus folgt, dass die Voraussetzung immer dann erfüllt ist, wenn , also n durch vier teilbar ist. Darüberhinaus ist auch bei die Voraussetzung erfüllt, so dass jeweils jede durch vier teilbare Zahl sowie ihr unmittelbarer Nachfolger die Voraussetzung erfüllen. |
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