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Beweis: Dreiecksungleichung mit Fallunterscheidung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Beweis, Dreiecksungleichung

Finchen503 aktiv_icon

14:05 Uhr, 25.01.2015

Hallo!
Ich soll folgende Aufgabe mithilfe einer Fallunterscheidung beweisen:

| x | + | y | \geq | x + y |

Ich weiß, dass es sich dabei um die Dreiecksungleichung handelt und man daher davon ausgehen kann, dass

x

und

y

nicht negativ sind, doch meine Aufgabe ist, dies zu vernachlässigen und trotzdem eine komplette Fallunterscheidung zu machen.

Ich hätte jetzt folgende Fälle untersucht:
(i)

x \geq 0 \land y \geq 0

(ii)

x \geq 0 \land y < 0

(iii)

x < 0 \land y \geq 0

(iv)

x < 0 \land y < 0

Wäre der Ansatz so richtig oder unterscheidet man eher zwischen

x + y \geq 0

und

x + y < 0

?

Irgendwie komme ich nicht so recht weiter...

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe :-)

Mfg,
Finchen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

14:35 Uhr, 25.01.2015

Bei ii und iii muss auch die Summe unterschieden werden.

Finchen503 aktiv_icon

14:55 Uhr, 25.01.2015

Ok. Reicht es bei

(i)

zu schreiben:

x \geq 0 \land y \geq 0

Dann gilt:

| x | + | y | = x + y \geq | x + y |

?

Und dann würde ich bei (ii) schreiben:

x \geq 0 \land y < 0

Und unterscheiden zwischen

x + y \geq 0

und

x + y < 0

x + y \geq 0 :

Dann gilt

| x | + | y | = x + (- y)

Doch dann komme ich nicht weiter...

: (

Finchen503 aktiv_icon

11:06 Uhr, 26.01.2015

hat keiner eine Antwort?

Finchen503 aktiv_icon

11:06 Uhr, 26.01.2015

hat keiner eine Antwort?

django

11:07 Uhr, 26.01.2015

- -

Testantwort

- -

Finchen503 aktiv_icon

11:19 Uhr, 26.01.2015

Gibt es ein Problem? Ich sehe hier nur Testantworten

: (

django

11:26 Uhr, 26.01.2015

Hallo Finchen,

ja, wir mussten kurz an der Seite schrauben ;-)
Alsbald werden sicher echte Antworten ankommen.
Vielen Dank für Deine Geduld.

Liebe Grüße vom Admin

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 26.01.2015

Hallo,

wenn man es mit Fallunterscheidungen erschlagen will / soll:

x \geq 0

und

y \geq 0,

dann ist auch

x + y \geq 0,

also

| x | + | y | = x + y = | x + y |

x \geq 0

und

y < 0

und

x + y \geq 0,

dann ist

- y > 0 > y,

also

| x | + | y | = x - y \geq x + y = | x + y |

x \geq 0

und

y < 0

und

x + y < 0 ...

.

Gruß pwm

Finchen503 aktiv_icon

12:24 Uhr, 26.01.2015

Danke für die Antwort!
Muss es dann beim Fall

x \geq 0

und

y < 0

heißen, dass

- y > 0 > y

ist und dann

| x | + | y | = - (x - y) = - x + y

sein müsste? Aber dann muss man doch wieder unterscheiden, ob

x < y

oder umgekehrt ist, oder?

Genau wie bei dem Fall

x < 0

und

y < 0,

oder?

Finchen503 aktiv_icon

12:34 Uhr, 26.01.2015

Ich meine natürlich die Beträge von

x

und

y

. Also muss man dann nicht unterscheiden, ob

| x | < | y |

ist?

ledum aktiv_icon

13:11 Uhr, 27.01.2015

Hallo
irgendwas geht durcheinander
x≥0 und

y < 0

folgt

| x | + | y | = x - y

dann

x + y > 0

folgt

| x + y | = x + y

insgesamt also die bejauptun

x - y \geq x + y

fall

x + y < 0

folgt

| | x + y | = - x - y

usw.
du hast im ersten post vergessen

x, y \in ℝ

oder sind es Vektoren?
Gru0 ledum

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