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Beweis Erwartungswert und Varianz

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Beweis, Erwartungswert, Stochastik, Varianz, Zufallsvariablen

nichtEinstein aktiv_icon

00:39 Uhr, 19.06.2021

Hallo ich soll zeigen, dass für den Erwartungswert

E (X) = \frac{n + 1}{2}

und für die Varianz Var(X)

= \frac{n^{2} - 1}{12}

gilt, wenn

X

eine gleichverteilte Zufallsvariable mit den Werten

{1, ..., n}, n \in N

ist.
Als Hinweis wurde uns gegeben

\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

mit

n \in N

.
Ich hatte es anfangs mit vollständiger Induktion probiert, kam aber nicht wirklich weiter. Hat jemand anderes vielleicht eine Idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matlog aktiv_icon

02:11 Uhr, 19.06.2021

Mit vollständiger Induktion kannst du den Hinweis beweisen, aber das brauchst du ja wohl gar nicht.

Du musst einfach nur die Definition vom Erwartungswert und von der Varianz einer diskreten Zufallsvariablen anwenden, hier also auf diese (diskrete) Gleichverteilung.

Bei der Berechnung des Erwartungswertes hilft der "kleine Gauss"

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

.
Die Berechnung der Varianz wird etwas erleichtert über die Formel Var(X)

= E (X^{2}) - {(E (X))}^{2}

. Und dann benötigt man noch die Formel aus dem Hinweis.

nichtEinstein aktiv_icon

13:12 Uhr, 19.06.2021

Danke! Habe die Aufgabe hingekriegt nach deinen Hinweisen.

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