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Beweis: Fixvektor und Übergangsmatrix

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, Matrix, Vektor

peyer2 aktiv_icon

17:40 Uhr, 04.05.2017

Hallo,

ich finde bei meinem Beweis keinen richtigen Anfang.

Es geht um eine Aufgabe bei der die Zustandvektoren

p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}

usw. zu bestimmen waren. Gegeben war eine quadratische Matrix

M

und

p_{0}

.

Dabei war:

p_{i} = M^{i} \cdot p_{0}

Bei der Berechnung kamen wir nun mit zwei Wegen zum richtigen Ergebnis. Einige hatten erst die Matrixpotenz errechnet und dann diese mit

p_{0}

multipliziert um auf

p_{1}, p_{2},

usw zu kommen. Andere hatten die Ausgangsmatrix

M

mal

p_{1}, p_{2},

usw genommen um auf

p_{2}, p_{3}

usw zu kommen.

Nun soll bewiesen werden, dass beide Methoden richtig sind.

Meine Behauptung ist also nun folgende:

M^{n} \cdot p_{0} = M \cdot p_{n - 1} = p_{n}

mit

n \in ℕ

Voraussetzungen sind:

M

ist eine

k x k

Matrix bzw.

m (i, i)

mit

i \in ℕ

p

ist ein

k x 1

Matrix bzw.

p (i,1)

mit

i \in ℕ

k \in ℕ

m (i, i)

und

p (i,1) \in ℝ

Mindestens ein Element des Vektors

p

muss

\neq 0

sein.

Meine Frage ist nun, wie setze ich jetzt mit dem Beweis an?

Danke im Voraus!
Peter

PS: Wäre klasse, wenn einer mir auch mal zeigt, wie man Pfeile über die Buchstaben macht um Vektoren besser kenntlich zu machen?.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

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ledum aktiv_icon

23:15 Uhr, 04.05.2017

Kennst du Induktion?
dann ist der Anfang

\vec{p_{1}} = M \cdot \vec{p_{0}}

(das schreibst du "vec"(p_1) ohne die " " Zeichen)
dann es gilt vec(p_(k))=M^kp_0
dann folgt mit

\vec{p_{k + 1} = M^{k + 1} \vec{p_{0}} = M \cdot M^{k} \cdot \vec{p_{0}}}

Gruß ledum

peyer2 aktiv_icon

23:21 Uhr, 04.05.2017

Vielen Dank schonmal.

Induktion ist mir ein Begriff.

Das heißt ich setze voraus, dass:

\vec{p_{k}} = M^{k} \cdot \vec{p_{0}}

Und Induktionsanfang:

\vec{p_{1}} = M \cdot \vec{p_{0}}

Dann geht es wie weiter? Ich will ja beweisen, dass

M^{k} \cdot \vec{p_{0}} = M \cdot \vec{p_{k - 1}} = \vec{p_{k}}

.

Ich habe es ja jetzt für

k = 1

die Aussage stimmt.

Nun müsste ich es doch für ein beliebiges

k

probieren, aber ich weiß nicht, wie ich das mit den Matrixpotenzen mache oder ist das alles viel simpler und trivialer als ich es mir gerade vorstelle.

Ich habe also noch nicht ganz verstanden, wie ich jetzt die Induktion weiter führe und dann zu einem Schluss komme.

Peter

ledum aktiv_icon

15:41 Uhr, 05.05.2017

Hallo
bei der Induktion , nach dem du es für

k = 1

hast, setzt du voraus dass es für

k

stimmt und zeigst damit, dass es dann auch für

k + 1

gilt.
so wie ich das schrieb.
Gruß ledum

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