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Beweis "Genau Dann" Betrag Vektor u. Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Beweis, Skalarprodukt, Vektorraum

mac-user09 aktiv_icon

22:24 Uhr, 26.10.2012

Hallo,

ich soll folgendes beweisen:

(a

und

b

Vektoren)

| a - b | = | a + b | \Leftrightarrow a

senkrecht

b

Ich weiß, dass ich für "a Senkrecht b" das Skalarprodukt null sein muss

{| a + b |}^{2}

müsste gleich

a + b

sein.

| a | =

wurzel aus Skalarprodukt von a mit sich selbst
Wie kann ich den Ausdruck beweisen? Ich habe gar keine Idee.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerDepp aktiv_icon

03:44 Uhr, 27.10.2012

Hossa ;-)

Vielleicht hilft dir das Folgende weiter?

∣ \vec{a} \pm \vec{b} ∣ = \sqrt{(\vec{a} \pm \vec{b})^{2}} = \sqrt{a^{2} \pm 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}}

Damit ist die eine Richtung der Äquivalenz klar:

\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \vec{b} = 0 \Rightarrow \sqrt{a^{2} - 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}} \Rightarrow ∣ \vec{a} - \vec{b} ∣ = ∣ \vec{a} + \vec{b} ∣

Die andere Richtung folgt ähnlich:

∣ \vec{a} - \vec{b} ∣ = ∣ \vec{a} + \vec{b} ∣ \Rightarrow \sqrt{a^{2} - 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}} \Rightarrow a^{2} - 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2} = a^{2} + 2 \vec{a} \vec{b} + b^{2}

\Rightarrow - 4 \vec{a} \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}

Damit sind beide Richtungen der Äquivalenz gezeigt... Ok?

mac-user09 aktiv_icon

15:02 Uhr, 27.10.2012

Hi,

danke für die Antwort.

Warum wird bei dir das Skalarprodukt ein Wurzelausdruck? Das ist doch Vektor

a \cdot b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Mir sind die ganze Wurzelausdrücke unklar. Denn gelernt hatte ich mal, dass der Betrag eines Vektors die Wurzel aus der Addition der Multiplikation der Vektorkomponenten ist.

Außerdem hast du bei der Binomischen Formel

a^{2}

ohne Vektor-Pfeil und dann wieder 2ab mit Vektorpfeil.

Kannst du das noch mal erklären?
Denn die dann folgenden Dinge sind klar.

DerDepp aktiv_icon

00:03 Uhr, 28.10.2012

Hossa ;-)

Die Betragszeichen bedeuten ja, dass die Länge eines Vektors gemeint ist. Daher musst du dir überlegen, wie Lang ein beliebiger Vektor

\vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})

ist. Die Länge ist der Abstand des Zielpuntes V vom Koordinatenursprung. Um dorthin zu gelangen, gehst du vom Ursprung zunächst auf der x-Achse entlang und legst dabei die Entfernung a zurück. Der Abstand vom Ursprung ist also dann gleich

∣ a ∣

. Die Betragszeichen berücksichtigen, dass a auch negativ sein könnte, die Länge eines Vektors jedoch nie negativ sein kann. Man könnte auch schreiben

\sqrt{a^{2}}

.

Nun legst du von dieser Position aus parallel zur y-Achse die Entfernung b zurück. Dabei entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die eine Kathete hat die Länge |a|, die andere die Länge |b|. Die Hypothenuse ist der Abstand vom Ursprung zur aktuellen Position. Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand vom Ursprung also jetzt gleich

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

.

Im letzten Schritt gehtst du parallel zur z-Achse und legst dabei die Entfernung c zurück. Wieder entsteht ein rechtwinliges Dreieck. Die eine Kathete ist der bisherige Abstand

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

, die andere Kathete ist |c|. Die Entfernung der Endposition vom Ursrpung ist also:

\sqrt{{(\sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

.

Du hast sicher schon gemerkt, dass jede neue Komponente einfach als Quadrat unter der Wurzel addiert wird. Wenn du jetzt, wie du richtig geschrieben hast, den Vektor

\vec{v}

mit sich selbst multiplizierst, erhälst du eine Zahl:

{\vec{v}}^{2} = \vec{v} \cdot \vec{v} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) = a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c = a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}})}^{2} = {∣ \vec{v} ∣}^{2}

.

Mit anderen Worten, wenn du einen Vektor mit sich selbst multiplizierst, erhälst du seine Länge zum Quadrat. Anstelle von

∣ \vec{v} ∣

schreibt man für die Länge des Vektors

\vec{v}

einfach ein

v

, ohne den Vektorpfeil. Dann kann man sich nämlich leicht Folgendes merken:

{\vec{v}}^{2} = {∣ \vec{v} ∣}^{2} = v^{2}

Die Multiplikation eines Vektors mit sich selbst ist also ein wichtiger Sonderfall. Den habe ich in meinem ersten Posting berücksichtigt.

Ok?

mac-user09 aktiv_icon

18:08 Uhr, 29.10.2012

Ja, danke. Habe es nun verstanden!

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