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Beweis Kommutativgesetz der Adition

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Addition, Beweis, Kommutativgesetz, Körper

 
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nona1

nona1 aktiv_icon

19:34 Uhr, 23.10.2010

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Hallo,
ICh soll das Kommutativgesetz der Addition in einem Körper mit den übrigen Axiomen beweisen.
Also was das Kommut.gesetz ist weiß ich.
a+b=b+a
Wie ich durch die anderen Axiome darauf komme habe ich versucht:
a=a+0 und 0=b+(-b)
a=a+(b+(-b)) (nun Assoziativ Gesetz)
a=(a+b)+(-b) (nun -(-b)was plus b wird)
a+b=a+b
da habe ich wohl was total logisches schwachsinnig bewiesen.

Mein zweiter Versuch war
0=a+(-a) und 0=b+(-b)
0=a+b+(-b)+(-a) oder auch 0=a+b-b-a
nun also +b und +a auf beiden Seiten also
b+a=a+b
Kann man das so gelten lassen? Also ist das richtig? Oder doch ehr geschummelt. Außerdem habe ich ja nur ein weiteres Axiom verwendet um das Kommu.gesetz zu beweisen.
Ich weiß, es ist wahrscheinlich total einfach, aber wenn meine Ansätze falsch sind komme ich nicht drauf wie ich es sonst machen kann, im Internet habe ich nur die Beweise durch Peano-Axiome gefunden, aber ich soll das ja durch die anderen normalen Körperaxiome beweisen. So habe ich jedenfalls die Aufgabe verstanden.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
kalli

kalli

21:49 Uhr, 23.10.2010

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Hallo,
ich habe mal gerade gegoogled und da ist immer gefordert, dass ein Körper eine abelsche Gruppe mit Sonderbedingungen ist.
Wie habt Ihr denn den Körper definiert?

LG
nona1

nona1 aktiv_icon

11:38 Uhr, 24.10.2010

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Ein Körper muss folgende Einzelaxiome erfüllen:

1. Additive Eigenschaften:
1.1. a+(b+c)=(a+b)+c (Assoziativgesetz)
1.2. a+b=b+a (Kommutativgesetz)
1.3. Es gibt ein Element 0∈K mit 0+a=a (neutrales Element)
1.4. Zu jedem a∈K existiert das additive Inverse − a mit ( − a)+a=0

2. Multiplikative Eigenschaften:
2.1. a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c (Assoziativgesetz)
2.2. a⋅b=b⋅a (Kommutativgesetz)
2.3. Es gibt ein Element 1∈K mit 1⋅a=a (neutrales Element), und es ist 1≠0.
2.4. Zu jedem a∈K \{0} existiert das multiplikative Inverse a − 1 mit a-1⋅a=1

3. Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c (Links-Distributivgesetz)

Das Rechts-Distributivgesetz (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c folgt dann aus den übrigen Eigenschaften.:
(a+b)⋅c=c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b=a⋅c+b⋅c

Ich dachte das gilt immer für Körper?
Antwort
Flo1990

Flo1990 aktiv_icon

11:46 Uhr, 24.10.2010

Antworten
Eigentlich kenn ich es so, dass erstmal definiert werden muss, wie die multiplikative und die additive Verknüpfung jeweils definiert ist. Erst dann könntest du da eigentlich etwas beweisen.

Wir hatten damals 7 Körperaxiome kennengelernt, die alle erfüllt werden müssen, damit man es als einen Körper definieren kann. Eines davon war auch das Kommutativgesetz. Wenn man nun aber, wie es bei dir der Fall ist, mit den anderen Axiomen beweisen kann/soll, dass das Kommutativgesetz gilt, und das allgemein gilt, dann wäre das ja auch allgemein gültig und man müsste es nicht extra beweisen. Macht also nicht so viel Sinn, wenn es dann jedes mal gefordert wird für einen Körper, wenn es eh gelten würde.
nona1

nona1 aktiv_icon

12:30 Uhr, 24.10.2010

Antworten
Es wurden uns keine Definitionen dazu gegeben, die stehen auch nicht im Skript, aber ich habe im www geschaut und da verwenden alle so Definitionen wie a+b'=(a+b)'
aber irgendwie blicke ich nicht durch wie das mir bei meiner Aufgabe helfen soll, da ich ja mit den Axiomen beweisen soll, dachte ich, dass das mit Umstellen und einsetzen von den Axiomen lösbar wäre. Aber wie genau weiß ich nicht (wie man an meinen Lösungsansätzen sehen kann - die höchstwarscheinlich falsch sind - was ich allerdings nicht hoffe)

Weiß Jemand eine Lösung für das Beweisen mit den Axiomen? Es geht auch ein Link wenn jemand weiß wo jemand schon mal die selbe Frage gestellt hat und einen Lösungsansatz gefunden hat.
nona1

nona1 aktiv_icon

14:35 Uhr, 24.10.2010

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Also ich habe im Internet zwei andere Lösungen gefunden. Ich denke zwar nicht, dass sie ganz auf meine Aufgabe passen, aber immerhin beweisen sie das Kommutativgesetz der Addition in einem Körper. Ich glaube allerdings das 2. passt besser zu meiner Aufgabe, allerdings verstehe ich einige schritte dabei nicht. Ist diese Lösung von demjenigen überhaupt richtig?

i) Behauptung: n+m'=n'+m∀ m,n∈ IN

Beweis durch vollständige Induktion über m:

Induktionsanfang: n+1'=(n+1)' (nach Definition der Addition)
=(n')'=n'+1

Induktionsannahme: n+m'=n'+m

Induktionsschluss:
n+(m')'
=(n+m')' (nach Definition der Addition)
=(n'+m)' (nach Induktionsannahme)
=n'+m' (nach Definition der Addition)

⇒ Es gilt n+m'=n'+m∀ m,n∈ IN

ii) Behauptung: n+1=1+n∀ n∈ IN

Beweis durch vollständige Induktion über n:

Induktionsanfang: 1+1=1'=1+1 (nach Definition der Addition)

Induktionsannahme: n+1=1+n

Induktionsschluss:
n'+1
=n+1' (wegen i))
=(n+1)' (nach Definition der Addition)
=(1+n)' (nach Induktionsannahme)
=1+n' (nach Definition der Addition)

⇒ Es gilt n+1=1+n∀ n∈ IN

iii) Behauptung: n+m=m+n∀ m,n∈ IN

Beweis durch vollständige Induktion über m:

Induktionsanfang: n+1=1+n (wegen ii) )

Induktionsannahme: n+m=m+n

Induktionsschluss:
n+m'
=(n+m)' (nach Definition der Addition)
=(m+n)' (nach Induktionsannahme)
=m+n' (nach Definition der Addition)
=m'+n (wegen i))

⇒ Es gilt n+m=m+n∀ m,n∈ IN

---

Eine Andere Lösung von jemanden anderes kommt meiner Meinung nach meiner Aufgabe schon näher, nur verstehe ich nicht was die ganzen ' sein sollen und wiese m und n einfach 1 gesetzt werden bzw. m=m+1 und soll dann dafür m'=1+m sein? Oder wird das zwischen durch einfach nur umgedreht?

m=11+1=1+1
m→m+1
1+(m+1)=1+m´
=(1+m)´
=(m+1)´ (nach vorraussetzung)
=(m+1)+1
n→n+1
(n+1)+m=n+(1+m) (nach Assoziativgesetz)
=n+(m+1)
=n+m´
=(n+m)´
=(m+n)´ (nach vorraussetzung)
=m+n´
=m+(n+1) also gilt die formel für alle n aus N


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