Beweis Satz d. Pythagoras mit skalar und vektoren

rechter Winkel bei C, d.h. (1) ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$

(2) ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Gleichung quadrieren (bin. Formel!)

(3) ${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2+2\cdot \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}^2}$

mit (1) und ${\displaystyle \overline{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{ <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{ <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

ergibt sich

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2={\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Für den Betrag des Vektors ist es egal ob er von C nach B oder von B nach C geht. Bei der Vektorsumme muss jedoch die Richtung beachtet werden.

warum quadrieren: man braucht eigentlich die Längen der Dreiecksseiten, also die Beträge der Vektoren. Weil das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seines Betrags liefert, wird hier "quadriert"; d.h. das Skalarprodukt des Vektors ${\displaystyle (\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$ bzw. des Vektors ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ jeweils mit sich selbst gebildet.

Die binomischen Formeln folgen aus dem Distributivgesetz, das auch für die Vektoraddition und das Skalarprodukt gilt.