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Beweis: V ist ein R-Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Abbildung, Beweis, Vektorraum

Mintaque

16:46 Uhr, 14.11.2015

Hallo alle zusammen,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

1.
Sei

M

eine Menge und

V

die Menge aller Abbildungen

f : M \to R

. Beweisen Sie, dass

V

ein

ℝ -

Vektorraum ist, zusammen mit den Abbildungen

(x \in M) :

+ : V

V \to V

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

: ℝ

V \to V

(a

f) (x) = a

f (x)

wobei auf der rechten Seite die übliche Addition und Multiplikation in

R

stehen.

- Damit es sich um einen

ℝ -

Vektorraum handelt müssen ja die ganzen Axiome

V 1 - V 8

gelten, ich weiß jetzt nur nicht wie ich mit dem was ich vorliegen habe beweisen kann, dass dies der Fall ist. Vielen Dank für eure Hilfe.

Als Zusatzaufgabe gab es auch noch:

Zeigen Sie außerdem, dass, falls

M

eine endliche Anzahl

n

von Elementen hat,

V

mit dem Vektorraum aller n-Tupel in

ℝ

(beziehungsweise Vektoren in

ℝ^{n})

identifiziert werden kann. Finden Sie dazu eine Basis für

V

und eine (bijektive Abbildung, welche sie auf die Basis von

ℝ^{n}

abbildet.

Hinweis: Es mag hilfreich sein, zuerst den Fall einer Menge mit einem Element

M = {x}

zu betrachten und dann zu verallgemeinern.

- Hier fehlt mir leider noch der Ansatz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

10:06 Uhr, 15.11.2015

"ich weiß jetzt nur nicht wie ich mit dem was ich vorliegen habe beweisen kann, dass dies der Fall ist."

Ein Acxiom nehmen und nachweisen. Dann ein anderes nehmen usw.
Z.B. V1:

+

ist assoziativ.
Beweis:

((f + g) + h) (x) = (f + g) (x) + h (x) = f (x) + g (x) + h (x) = f (x) + (g + h) (x) = (f + (g + h)) (x)

. Fertig.

"Zeigen Sie außerdem, dass, falls M eine endliche Anzahl n von Elementen hat, V mit dem Vektorraum aller n-Tupel in ℝ (beziehungsweise Vektoren in ℝn) identifiziert werden kann. Finden Sie dazu eine Basis für V und eine (bijektive Abbildung, welche sie auf die Basis von ℝn abbildet."

Wenn

M = {a_{1}, . . ., a_{n}}

, dann kann jede Funktion

f : M \in ℝ

mit dem Tupel

(f (a_{1}), . . ., f (a_{n}))

identifiziert werden. Eine Basis von

V

ist dann

f_{1}, . . ., f_{n}

, wo

f_{i} (a_{i}) = 1

und

f_{i} (a_{j}) = 0

für

i \neq j

. Eine bijektive Abbildung

V \to ℝ

ist

f \to (f (a_{1}), . . ., f (a_{n}))

Mintaque

19:32 Uhr, 15.11.2015

Alles klar
War eigentlich ganz simpel
Ich stand irgendiwie ganz blöde auf dem Schlauch

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