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Beweis allgemeines Distributivgesetz

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Allg. Distributivgesetz, Beweis, Körper

CariCaro aktiv_icon

23:01 Uhr, 10.11.2009

Aufgabe:
Beweisen Sie das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.
Wie es heißt, ist klar...

(Σ_{i = 1}^{r} a_{i}) (Σ_{k = 1}^{s} b_{k}) = Σ_{1 \leq i \leq r, 1 \leq k \leq s} a_{i} b_{k}

...aber wie beweisen?

DANKE DANKE DANKE

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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hagman aktiv_icon

08:33 Uhr, 11.11.2009

Per Induktion. Entweder nacheinander nach

r

und dann nach

s

oder, wenn du es geschickt anstellst, nach

r + s

oder auch nach der Anzahl der Summanden

r \cdot s

rechts.
Mit den normalen Distributivgesetzen zeigst du dabei jeweils

A (r, s) \Rightarrow A (r + 1, s)

und

A (r, s) \Rightarrow A (r, s + 1)

CariCaro aktiv_icon

08:42 Uhr, 11.11.2009

Induktion kann man scheinbar überall anwenden...ich versuche mich mal, fürchte aber, ich bekomm es nicht hin bis um

9 : 30

Uhr

VIELEN DANK!!!

Der-Praktikant aktiv_icon

08:48 Uhr, 11.11.2009

Ohne mir jetzt genau darüber gedanken gemacht zu haben würde ich folgendes angehen:

Es ist ein beweis mit indizes
indizes sind elemente aus

N

Also würde ich einen Beweis mit hilfe der vollständige Induktion durchführen.

hagman aktiv_icon

09:22 Uhr, 11.11.2009

Das solte auch bis

9 : 30

machbar sein.

A (r, s)

sei die Aussage

(\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{s} b_{j}) = \sum_{1 \leq i \leq r,1 \leq j \leq s} a_{i} b_{j}

Dann ist

A (r,0)

(weil die "leere Summe" 0 ist):

(\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) \cdot 0 = 0

(wahr)
Ebenso ist

A (0, s)

trivialerweise wahr.

Zeige zunächst

A (r,1)

für alle

r

.
Es gilt

(\sum_{i = 1}^{r + 1} a_{i}) b_{1}

(linke Seite von

A (r + 1,1))

= (\sum_{i = 1}^{r} a_{i} + a_{r + 1}) b_{1}

(rekursive Definition von

\sum)

= (\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) b_{1} + a_{r + 1} b_{1}

(Distributivgesetz)

= \sum_{i = 1}^{r}

a_ib_1

+ a_{r + 1} b_{1} (A (r, s)

benutzt)

= \sum_{i = 1}^{r + 1}

a_ib_1 (rekursive Definition von

\sum)

Per Induktion folgt also

A (r,1)

für alle

r

.

Jetzt rechne

(\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{s + 1} b_{j})

(das ist die linke Seite in

A (r, s + 1))

= (\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{s} b_{j} + b_{s + 1})

(rekursive Definition von

\sum)

= (\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) (\sum_{j = 1}^{s} b_{j}) + (\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) b_{r + 1}

(Distributivgesetz)

= \sum_{1 \leq i \leq r,1 \leq j \leq s} a_{i} b_{j} + (\sum_{i = 1}^{r} a_{i}) b_{r + 1} (A (r, s)

benutzt)

= \sum_{1 \leq i \leq r,1 \leq j \leq s} a_{i} b_{j} + \sum_{i = 1}^{r}

a_ib_

{

r+1}

(A (r,1)

benutzt)

= \sum_{1 \leq i \leq r,1 \leq j \leq s + 1} a_{i} b_{j}

(Def von

\sum)

Also folgt die Behauptung per induktion nach

s

CariCaro aktiv_icon

09:24 Uhr, 11.11.2009

DANKE DANKE DANKE DANKE!!!!!!!!!!!!!
du hast meine klausurzulassung gerettet!
was bin ich dir schuldig?

; o)

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