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Beweis auf Überprüfen von Quadratzahl

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Quadratzahl

anonymous

03:23 Uhr, 06.12.2023

Ist es möglich, dass eine Zahl, welche durch eine ungerade Anzahl von aufeinanderfolgenden Ziffern 4 gefolgt von der Ziffer 1 also beispielsweise

4441, 444441,

usw. eine Quadratzahl ist? Ein ausführlicher Beweis ist notwendig

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

08:55 Uhr, 06.12.2023

Tipp:
Deine Zahlen lassen sich (mit

n

aus den natürlichen Zahlen) beschreiben als:

\frac{4 \cdot 100^{n} - 31}{9}

Wie wird dann wohl die Wurzel aussehen?

HAL9000

09:49 Uhr, 06.12.2023

Einfach mal mit den Zahlen "rumspielen" wirst du feststellen, dass

⌊ \sqrt{41} ⌋ = 6, ⌊ \sqrt{4441} ⌋ = 66, ⌊ \sqrt{444441} ⌋ = 666

usw., in Formeln ist das

a_{n} = 2 \cdot \frac{1 0^{n} - 1}{3}

für

n = 1, 2, 3

. Schauen wir uns mal die Quadrate dieser ganzen Zahl sowie ihres Nachfolgers an:

a_{n}^{2} = \frac{4 \cdot 1 0^{2 n} - 8 \cdot 1 0^{n} + 4}{9}

{(a_{n} + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 1 0^{2 n} + 4 \cdot 1 0^{n} + 1}{9}

.

Da wirst du nun schauen müssen, wie sich die von calc007 genannte Zahl

\frac{4 \cdot 1 0^{2 n} - 31}{9}

hinsichtlich dieser beiden aufeinander folgenden Quadratzahlen einordnet.

anonymous

12:23 Uhr, 06.12.2023

Top, danke für den Anreiz der vollständigen Induktion HAL900 und mit der Formel calc007 :-) Könntet ihr mir eventuell noch damit weiterhelfen, diese Formel herzuleiten? Durch einfachen "rumspielen" bin ich auch darauf gekommen nur hakt es bei der Herleitung momentan etwas.

HAL9000

12:34 Uhr, 06.12.2023

Welche Herleitung meinst du? Dass man die Zahl

44 \dots 41

mit genau

(2 n - 1)

-mal Ziffer 4 als

\frac{4 \cdot 1 0^{2 n} - 31}{9}

darstellen kann?

Oder dass

66 \dots 6

mit genau

n

-mal Ziffer 6 dann

2 \cdot \frac{1 0^{n} - 1}{3}

ist?

Für beides gilt:

1 0^{k} - 1

ist

999 \dots 9

, d.h. eine Zahl mit genau

k

-mal der 9. Damit ist

\frac{1 0^{k} - 1}{9}

die Zahl

111 \dots 1

mit genau

k

Einsen. Damit solltest du weiter kommen.

anonymous

12:37 Uhr, 06.12.2023

Erstes meinte ich. Danke für den Anreiz!

anonymous

20:54 Uhr, 06.12.2023

@calc007 Nach einigem Grübeln bin ich leider etwas verwirrt. Ich verstehe die Formel, nur ist mir der Grund weshalb wir

- 31

im Zähler haben unbekannt... Könntest du mich eventuell aufklären, wie du auf die Formel gekommen bist. Vielen Dank

abakus

21:06 Uhr, 06.12.2023

Nachdem dieses Arschloch bei mathelounge.de mit seinem Betrugsversuch aufgeflogen ist, versucht er es ungeniert hier.
NICHT HELFEN, SONDERN SPERREN!
Es ist eine Aufgabe aus der ersten Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik.
www.mathe-wettbewerbe.de/fileadmin/Mathe-Wettbewerbe/Bundeswettbewerb_Mathematik/Dokumente/Aufgaben_und_Loesungen_BWM/aufgaben_24_1.pdf

HAL9000

21:58 Uhr, 06.12.2023

Bin ich leider auch diesem Betrüger aufgesessen (hätte nicht gedacht, dass so eine einfache Aufgabe beim BWM vorkommt). Ich bitte daher die Boardverantwortlichen diesen Thread zu sperren (zumindest meine Beiträge oben unkenntlich zu machen - selbst kann ich das ja leider jetzt nicht mehr tun).

P.S.: Möcht mal wissen, was das bringen soll: Wer diese einfachste der vier Aufgaben nicht selbständig hinkriegt, hat bei dem ganzen Wettbewerb sowieso nicht das geringste zu suchen. Soll sich stattdessen besser bemühen, wenigstens die Aufgaben auf PISA-Niveau hinzukriegen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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