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Beweis der Regeln von De Morgan

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, de Morgan, de morgans gesetze, Mengenlehre

kilian1993 aktiv_icon

17:29 Uhr, 11.10.2012

Hallo liebe User,

ich bin jetzt im ersten Semester (Wirtschaftsmathematik) und habe heute das erste mal die Analysis-Vorlesung besucht. 2 von 3 Aufgaben habe ich geschafft, bei dieser hier (Anhang) habe ich jedoch Schwierigkeiten.
Ich habe mir hier im Forum schon einige Threads zu diesen Regeln angeschaut (auch teilweise verstanden), aber noch keinen Beweis in dieser Schreibweise gefunden.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Mit freundlichen Grüßen
Kilian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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Mathe45

17:36 Uhr, 11.10.2012

Du sollst hier die Gleichheit zweier Mengen beweisen ( Achtung: I ist eine Indexmenge )
Grundprinzip:
Sind A und

B

gleich?
Beweisabfolge: Für jedes

x \in A \Rightarrow x \in B \land

für jedes

x \in B \Rightarrow x \in A

kilian1993 aktiv_icon

18:04 Uhr, 11.10.2012

Ok erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort :-)

Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:

Es seien A und

B

Mengen.
1. Angenommen

x

∈

A,

wir zeigen

x

∈ B. Dann folgt

A C B

(C =

Teilmenge)
2. Angenommen

x

∈

B,

wir zeigen

x

∈ A. Dann folgt

B C A

.
3. Aus

A C B

und

B C A

folgt

A = B

Mathe45

18:33 Uhr, 11.10.2012

Und dann verwendet man noch ein paar Grundregeln.
¬

(A \lor B) \Leftrightarrow

A \land

B

x \in A \ B \Leftrightarrow x \in A \land

x \in B

Mathe45

18:40 Uhr, 11.10.2012

respektive

x \in A \ B \Leftrightarrow x \in A \land x \notin B

kilian1993 aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.10.2012

Habe mich noch einmal hingesetzt. Der Verlauf wie man's macht ist mir jetzt klar und die Grundregeln auch. Aber was bringen mir diese Grundregeln:

¬ (A∨B)⇔ ¬ A∧ ¬

B

x∈A\B⇔x∈A∧ ¬ x∈B

genau?

Mathe45

19:16 Uhr, 11.10.2012

x

sei aus einer Vereinigungsmenge:

\Rightarrow x \in A_{1} \lor x \in A_{2} \lor x \in A_{3}

usw. ( siehe dein Beispiel der Vereinigungsmenge

⋃ A_{i})

Wird das verneint, so gilt

x \notin A_{1} \land x \notin A_{2} \land x \notin A_{3}

usw.
Aus

x \in B \land x \notin A_{1}

folgt

x \in B \ A_{1}

In weiterer Folge ergibt sich

x \in B \ A_{1} \land x \in B \ A_{2} \land x \in B \ A_{3}

usw.
Daraus folgt

x \in ⋂ B \ A_{i}

Damit ist die eine Richtung bewiesen.
( Das Schreiben der Formeln ist schwieriger als der Vorgang selbst )

kilian1993 aktiv_icon

19:23 Uhr, 11.10.2012

Whow danke :-)
hätte nicht gedacht dass ich das noch verstehe..

die andere Richtung müsste ich dann allein schaffen.

Vielen vielen Dank :-)

Mathe45

19:25 Uhr, 11.10.2012

Noch ein Hinweis: Ist ein Element aus einer Vereinigungsmenge, dann gilt die "ODER" - Verknüpfung ( "

\lor

" ).
Ist ein Element aus einer Durchschnittsmenge, dann gilt die "UND" - Verknüpfung
( "

\land

" )

kilian1993 aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.10.2012

Sind "&or;" und "&and;" die Symbole der Logik und "⋂" und "⋃" die Symbole der Mengenlehre?

Mathe45

19:37 Uhr, 11.10.2012

Ja, das "ODER" ( "

\lor

" ) entspricht der Vereinigung "

\cup

"
und das "UND" ( "

\land

" ) entspricht dem Durchschnitt "

\cap

".
Das entspricht auch dem Sprachgebrauch: ein Element ist aus einer Vereinigungsmenge, wenn es entweder aus der 1. Menge "ODER" aus der 2. Menge "ODER"

... .

.
Ein Element ist aus einer Durchschnittsmenge, wenn es aus der 1. Menge "UND" aus der 2. Menge "UND"

...

kilian1993 aktiv_icon

19:42 Uhr, 11.10.2012

Wunderbar, vielen Dank!

Xevin aktiv_icon

19:49 Uhr, 02.03.2016

Hallo liebe User,
ich habe hier nochmal ne Frage. Ich habe glaube ich eine ähnliche, wenn nicht sogar gleiche Aufgabe.

Ich soll auch die Gleichheit zweier Mengen angeben. Nur steht bei mir noch was von Teilmengen und so... steig da nicht durch.
Wenn mir die bisherigen Antworten weiterhelfen können, wäre es nett wenn ihr mir das bestätigen könnt.
Wenn das nicht der Fall ist soll ich dann einen neuen Thread aufmachen, oder ginge das auch so?

=)

Vielen Dank im Voraus

abakus

21:24 Uhr, 02.03.2016

"ein Element ist aus einer Vereinigungsmenge, wenn es entweder aus der 1. Menge "ODER" aus der 2. Menge..."

Hallo Mathe45,
hier wird es falsch. Deine Formulierung "entweder" geht in diesem Zusammenhang NICHT.

ODER ist (abseits der Alltagssprache) kein Exklusiv-ODER.

Xevin aktiv_icon

22:22 Uhr, 02.03.2016

Hi Gast62,
Hast du zufällig auch ne Antwort auf meine Frage? Wäre echt nett

=)

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