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Beweis durch vollständige Induktion (n² > n + 1)

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Vollständig Induktion

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09:52 Uhr, 10.11.2017

Hallo

=)

Ich bin gerade dabei, Beweise zur vollständigen Induktion zu üben.

Besonders fallen mir die Ungleichungen schwer.

Nun, hier folgende Behauptung: n²

> n + 1

für alle

n \geq 2;

Man sieht ja auf den ersten Blick, dass das stimmt. Nur man muss ja auch zeigen.

Ich hätte das irgendwie so gelöst:

(n+1)²

> n + 2

\to

n²

+ 2 n + 1 > n + 2 | - 2

\to

n²

+ 2 n - 1 > n | n

\to n + 2 - (\frac{1}{n}) > 1

Meiner Meinung nach habe ich doch jetzt eindeutig gezeigt, dass es Größer ist.
Denn der Teil

2 - (\frac{1}{n})

ist alleine schon für alle

n \geq 2

größer

1 . .

.
In der Lösung machen die es aber irgendwie anders:

(n+1)²

> n + 2

\to

n²

+ 2 n + 1 > (n + 1) + 2 n + 1

\to

n²

+ 2 n + 1 \geq (n + 1) + 5

(da

n \geq 2) \to

Das Verstehe ich nicht, warum man das
machen kann, also einfach 5
hinschreiben und warum dann

\geq

dort steht

\to

n²

+ 2 n + 2 \geq n + 2

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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09:53 Uhr, 10.11.2017

"Meiner Meinung nach habe ich doch jetzt eindeutig gezeigt, dass es Größer ist. "

Schon, aber Du hast Induktion nicht benutzt.

Die andere Lösung geht über Induktion.

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09:57 Uhr, 10.11.2017

Sie nutzen da die Induktionsvoraussetzung

n^{2} > n + 1

und
die Abschätzung

2 n + 1 \geq 2 \cdot 2 + 1 = 5

für

n \geq 2

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09:57 Uhr, 10.11.2017

Achso stimmt. Aber weißt du, warum mein dort für

n

einfach 2 einsetzen kann damit dort

+ 5

steht? Ich hätte es ja auch schon bis

88

gezeigt haben können und warum hätte ich dann nicht

89

für

n

einsetzen müssen? Warum ausgerechnet die 2? Und warum ist es dann

\geq 2

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10:00 Uhr, 10.11.2017

Habe ich geschrieben.
Du brauchst das für alle

n \geq 2

zu zeigen, deshalb setzt man

2

ein.
Wenn Du die Ungleichung schon "per Hand" bis zu 88 gezeigt hast, kannst Du auch

88

einsetzen. Aber wer macht so was? :-O

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10:18 Uhr, 10.11.2017

Ja, das macht Sinn. :-) Vielen Dank!

MatheCat aktiv_icon

10:39 Uhr, 10.11.2017

Also wenn ich jetzt nochmal darüber nachdenke, verstehe ich (leider) immer noch nicht, warum dass größergleich ist. Meiner Meinung nach müsste das nur größer sein.

Also mir ist klar, warum die für n² die

n + 1

einsetzen. Mir ist auch Dank Dir klar, warum die 2 einsetzen. Aber was nicht in meinem Kopf reingehen will ist, warum das auch GLEICH sein kann, also

n²

+ 2 n + 1 \geq (n + 1) + 2 n + 1

?

Denn laut Voraussetzung gilt ja, dass n²

> n + 1

D . h

. wenn ich n² durch

n + 1

ersetze, dann muss meiner Meinung nach n²

+ 2 n + 1

echt größer

n + 1 + 2 n + 1

sein und eben nicht größer gleich. Denn egal was ich für

n

in n²

+ 2 n + 1 \geq (n + 1) + 2 n + 1

einsetze, die linke Seite ist halt (wegen n²

> n + 1)

größer.

Man sieht das ja auch, wenn man auf beiden Seiten

- (2 n + 1)

rechnen würde, dann stünde dort ja wieder n²

> n + 1

und nicht n²

\geq n + 1

.

LG

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11:01 Uhr, 10.11.2017

Aus

n^{2} > n + 1

folgt

n^{2} \geq n + 1

.

Die Aussage

n^{2} \geq n + 1

meint doch nicht, dass

=

möglich sein muss.
Z.B. ist die Aussage

5 \geq 2

absolut korrekt.

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11:45 Uhr, 10.11.2017

Hast Recht. Danke. :-)

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