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Beweis (n über k-1) + (n über k)

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Beweis, Binomialkoeffizient

Aishling aktiv_icon

01:22 Uhr, 20.10.2009

Hallo Leute! Wir haben heute bei Analysis I für Ingenieure die Binomialkoeffizienten durchgenommen und dabei eine wichtige Formel hergeleitet! Nun habe ich Verständnisprobleme bei zwei Schritten, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

Die Formel lautet:

(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

bei

1 \leq k \leq n

wenn man sich die linke Seite anschaut steht da:

\frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - (k - 1))!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

soweit so gut

= \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

jetzt kommt der Teil, wo ich nicht mehr mitgekommen bin... um denselben Nenner zu bekommen muss man ja mit dem Kleinsten Gemeinsamen multiplizieren, die Professorin meinte sie multipliziert mit

k

und

n - k + 1

damit dann:

\frac{n! \cdot k + n! (n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!}

herauskommt!

Meine erste Frage nun: Wie hat sie gerechnet, damit die anderen Sachen

(k - 1)!

und

(n - k)!

sich wegkürzen?

Dann ging es weiter, sie hat dann bei

\frac{n! (k + n + 1 - k)}{k! (n - k + 1)!}

die ks in der oberen Klammer weggestrichen (da

k - k = 0

ist)
Dann meinte sie jedoch plötzlich:

= \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!}

und dann gleich :

= (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

Meine zweite Frage lautet nun: wie kam sie von

\frac{n! (n + 1)}{k! (n - k + 1)!}

auf das Endergebnis (also wie hat sie weiter gekürzt) oder kann es auch mögich sein, dass ich bei ihrer Geschwindigkeit irgendwo einen Fehler beim Abschreiben gemacht habe?

Tut mir Leid, dass es so lang geworden ist! Ich danke schonmal im Vorraus!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Kosekans aktiv_icon

03:09 Uhr, 20.10.2009

"Meine erste Frage nun: Wie hat sie gerechnet, damit die anderen Sachen

(k - 1)!

und

(n - k)!

sich wegkürzen?"

Der erste Bruch wird mit

k

erweitert, der zweite mit

n - k + 1

Genauso wie

4 \cdot 3! = 4!

oder

9! \cdot 10 = 10!

ist, ist

(k - 1)! \cdot k = k!

und

(n - k)! \cdot (n - k + 1) = (n - k + 1)!

. Da wurde einfach nur ausgerechnet.

"Meine zweite Frage lautet nun: wie kam sie von

\frac{n! (n + 1)}{k! (n - k + 1)!}

auf das Endergebnis"

Im Zähler wurde nach der gleichen Regel einfach

n! \cdot (n + 1) = (n + 1)!

ausgerechnet - So wie

13! \cdot 14 = 14!

. Der letzte Schritt wird klarer wenn du dich an

n

"über"

k := \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

erinnerst und ihn dann in entgegengesetzter Richtung vollziehst. Du musst nur für

n

jetzt

n + 1

einsetzen.

btw - Wie schreibt man die Binomialkoeffizienten mit dem Formeleditor??

Astor aktiv_icon

10:37 Uhr, 20.10.2009

Hallo,
also:

\frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! * (n - k)!}

wenn man diese Brüche zusammenfassen will, muss man den 1. Bruch mit k, und den 2. Bruch mit (n-k+1) erweitern.

Dann steht da:

\frac{n! * k}{k * (k - 1)! * (n - k + 1)} + \frac{n! (n - k + 1)}{k! * (n - k)! * (n - k + 1)} = \frac{n! * k}{k! * (n - k + 1)!} + \frac{n! * (n - k + 1)}{k! * (n - k + 1)!}

Somit: hier wird im Zähler

n!

ausgeklammert:

\frac{n! * k + n! * (n - k + 1)}{k! * (n - k + 1)!} = \frac{n! * (k + (n - k + 1))}{k! * (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! * (n - k + 1)!}

man muss sich klar machen, was

(n + 1)!

bedeutet. Was ist der Unterschied zu

n!

.

Gruß Astor

Aishling aktiv_icon

15:56 Uhr, 20.10.2009

Hallo Leute, danke! Jetzt ist es mir klar geworden!

@ Kosekator

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

findest du bei "Wie schreibt man Formeln?" man muss die beiden Zahlen jeweils in Klammern schreiben und mit einem Komma trennen:

(a), (b)

wenn man die Zahlen dann mit einer großen Klammer umgibt kommt das "über" Zeichen hervor. Das geht auch mit mehreren Zahlen

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

Mit freundlichen Grüßen

pRe27 aktiv_icon

09:58 Uhr, 03.05.2011

Ich hätt da noch ne Frage zu.

Was sagt die Formel eigentlich aus, die hier gerade bewiesen wurde? Sitze vor eine Aufgabe, wo das anwenden soll!

Bummerang

10:06 Uhr, 03.05.2011

Hallo,

es ist in jedem Falle besser, einen neuen Thread für eine neue Frage zu eröffnen. Um den Bezug zu dieser Leiche herzustellen, genügt das Einfügen eines Links. Doch nun zur Antwort:

Du kennst sicher das Pascalsche Dreieck, wenn nicht, findest Du es in wikipedia. Nimm Dir ein beliebiges (hinreichend kleines

n), z . B

n = 5,

und ein

k \leq n, z . B

k = 4,

und kennzeichne die drei zugeordneten Werte im Pascalschen Dreieck. Fällt Dir was auf? Wiederhole das mit anderem

n

und

k

um Deinen Verdacht zu bestätigen oder wenn Du es bisher noch nicht gesehen hast, um jetzt doch noch den Zusammenhang zu erkennen!

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