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Beweis von Summe der Binomialkoeffizienten = 2^n

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis

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20:57 Uhr, 02.07.2009

Hallo,

ich soll beweisen, dass

$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) + ... + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 2^{n}$

gilt.

Ich habe das schon mal anhand eines Zahlenbeispiels überprüft und will es nun mit Variablen beweisen.

n=3

$(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = 8 = 2^{3}$

$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) + ... + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 2^{n}$

Der erste und der letzte Koeffizient sind doch generell gleich 0, oder nicht?

Dann hab ich ja nur die "mittleren" Koeffizienten.

Der Unterschied zwischen n! und (n-k)! liegt einfach nur darin, dass die erste Fakultät den Summanden "n" mehr hat, richtig?

Ich wäre dankbar für Denkanstöße, möchte es gerne selbst beweisen.

mfg

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:59 Uhr, 02.07.2009

Meine edit spinnt grade.

Meine natürlich, dass 1. und

n

. Koeffizient

= 1

sind!

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21:02 Uhr, 02.07.2009

Ich sehe gerade, dass der erste und letzte Koeffizient gleich die 2 sind.
Hoch

n

gibt dann die Anzahl+1 zwischen diesen beiden an.
Wie kann ich sowas als Beweis ausdrücken?

matheleo aktiv_icon

08:37 Uhr, 03.07.2009

Hey,

es gibt einen wunderschönen Beweis für diese Aufgabe. Du kennst doch bestimmt den binomischen Lehrsatz, oder?

${(a + b)}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}) a^{n - i} b^{i}$

Finde darin geeignete Werte für a und b. Die Lösung ergibt sich dann von selbst =)

mfg

Matheleo

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13:16 Uhr, 03.07.2009

Hey,
danke für deine Antwort, aber nein den kenne ich nicht.
Ich soll das so beweisen.

mfg

Karma aktiv_icon

13:56 Uhr, 03.07.2009

Hallo und guten Tag.

Sei M eine Menge mit n Elementen.
Sei P(M) die Potenzmenge von M,
das ist die Menge aller Teilmengen von M.

E s g i b t 2^{n} T e i m e n g e n e i n e r n - e l e m e n t i g e n M e n g e .

Wenn man alle Teilmengen von aufzählen möchte,
rechnet man
Anzahl der 0-Elementigen Teilmengen von M
plus
Anzahl der 1-Elementigen Teilmengen von M
plus
Anzahl der 2-Elementigen Teilmengen von M
...
Anzahl der (n-1)-Elementigen Teilmengen von M
plus
Anzahl der n-Elementigen Teilmengen von M.

S o w e i t, s o g u t .

Die Anzahl der 0-elementigen Teilmengen vom M ist 1,
die leere Menge nämlich.

Die Anzahl der 1-elementigen Teilmengen vom M ist n,
die n Mengen, die jeweils eins der n Elemente von M enthalten.
...
Die Anzahl der n-elementigen Teilmengen vom M ist 1,
die Menge M selbst.

Allgemein gilt:

D i e A n z a h l d e r k - e l e m e n t i g e n T e i l m e n g e n e i n e r n - e l e m e n t i g e n M e n g e i s t (\binom{n}{k}) .

Insgesamt also:

|P(M)|=

2^{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

Und insbesondere:

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + \dots + (\binom{n}{n}) = 2^{n}

.

Schönen Gruß
Karsten

hsvfan aktiv_icon

14:56 Uhr, 03.07.2009

Hallo,

"Die Anzahl der 1-elementigen Teilmengen vom M ist n,
die n Mengen, die jeweils eins der n Elemente von M enthalten.

Allgemein gilt:
Die Anzahl der k-elementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge ist (n über k)."

Wie genau ist das zu verstehen? Kann mir jmd das an einem Beispiel verdeutlichen?

Wenn ich als Beispiel n=4 wähle ist mir nicht klar, dass

1+1+(n über 1)+(n über 2)+(n über 3) = 2^n sind.

Die 2 ist logisch. Nur "(n über 1)+(n über 2)+(n über 3) = x^n" verstehe ich noch nicht so ganz.

mfg

Karma aktiv_icon

16:23 Uhr, 03.07.2009

Sei

n = 4

.

Dann ist

2^{4} = 16

sowie

(\binom{4}{0}) = (\binom{4}{4}) = 1

und

(\binom{4}{1}) = (\binom{4}{3}) = 4

und

(\binom{4}{2}) = \frac{3 * 4}{2} = 6

.

Also:

(\binom{4}{0}) + (\binom{4}{1}) + (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3}) + (\binom{4}{4}) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}

Schönen Gruß
Karsten

hsvfan aktiv_icon

17:32 Uhr, 03.07.2009

Okay, alles klar.
Vielen Dank!

mfg

Leibniz030 aktiv_icon

09:06 Uhr, 12.12.2012

Hallo Karma,

total super!!

Deine Antwort hat auch mir geholfen, da ich die gleiche Frage hatte bzw. habe.

Gruß

Leibniz030

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