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Beweis zu Mengen

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, differenz, disjunkte Vereinigung, Mengenlehre

anonymous

20:48 Uhr, 02.11.2015

Hallo Leute,

bei dieser Aufgabe hakt es zurzeit bei mir. Also die grafische Vorstellung ist ja, dass der linke Teil vom Gleichheitszeichen folgendes aussagt.
Das kartesische Produkt (MxM') ohne (AxA') entspricht den Mengen (CxC') und (BxB') zusammen oder?
Nur wie kann ich diese Aussage beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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Ginso aktiv_icon

11:36 Uhr, 03.11.2015

Also es gilt ja zu zeigen, dass es solche

B, B ʹ, C, C ʹ

gibt.
Überleg dir doch mal welche Paare in

(M \times M ʹ) \ (A \times A ʹ)

sind.
Offensichtlich sind alle Paare aus

(M \ A) \times (M ʹ \ A ʹ)

noch drin. Aber sind das alle?
versuch mal die Menge so aufzuschreiben:

(M \times M ʹ) \ (A \times A ʹ) = {(x, y) ∣ \dots}

und dabei

\dots

zu ersetzen ohne dabei das Zeichen

\times

zu verwenden, also nur durch Verknüpfung von Aussagen wie

(x \in M \ A \land y \in M ʹ \ A ʹ)

waps343 aktiv_icon

23:44 Uhr, 04.11.2015

Hallo Ginso,

der Beweis hackt bei mir generell wäre also von Vorteil wenn du in komplett hochladen könntest da ich wie Xerath die Aufgabe als Teilaufgabe eines Blattes bis morgen

10 : 00

einschicken muss. Also kannst du meine missliche Lage verstehen.

Hoffe auf dein Verständnis
PS: das

U

zwischen (BxB´)

U

(CxC´) (mit dem Punkt) soll das die disjunkte Vereinigungsmenge sein?

Gruß Waps

Ginso aktiv_icon

09:10 Uhr, 05.11.2015

Also betrachten wir die Menge

(M \times M ʹ) \ (A \times A ʹ)

:
wie bereits erwähnt sind offensichtlich sind alle Paare aus

(M \ A) \times (M ʹ \ A ʹ)

in der Menge.
Es fallen ja nur die Paare

(x, y)

von

M t i m e s M ʹ

raus, bei denen gilt

x \in A \land y \in A ʹ

, es darf also durchaus

x \in A, y \in M ʹ \ A ʹ

oder

x \in M ʹ \ A ʹ, y \in A ʹ

sein.
Wir haben also

(M \times M ʹ) \ (A \times A ʹ) = {(x, y) ∣ (x \in M \land y \in M ʹ) \land \neg (x \in A \land y \in A ʹ)}

= {(x, y) ∣ (x \in M \land y \in M ʹ) \land (x \notin A \lor y \notin A ʹ)}

= {(x, y) ∣ (x \in M \land y \in M ʹ \land y \notin A ʹ) \lor (x \in M \land x \notin A \land y \in A ʹ)}

= {(x, y) ∣ (x \in M \land y \in M ʹ \ A ʹ) \lor (x \in M \ A \land y \in A ʹ)}

= (M \times M ʹ \ A ʹ) \cup (M \ A \times A ʹ)

Da diese beiden Mengen disjunkt sind, kann man das

\cup

mit dem Punkt nehmen(das gibts hier glaub nicht)

waps343 aktiv_icon

09:24 Uhr, 05.11.2015

Schon mal Danke!

Mit dem Hinweis an Xerath bin ich dann auch schon soweit gekommen. Ist aber die Umformung mit der beendenden Gleichheit (M×M′)\(A×A′)=(M×M′\A′)∪(M\A×A′) auf der rechten Seite genügend um mit

(B

\times B) \cup (C \times C')

gleichgesetzt zu werden? Ich seh das grad nicht so wäre klasse wenn du das noch kurz erläuterst.

anonymous

11:17 Uhr, 06.11.2015

Erstmal vielen Dank für deine Mühe.
Dein Tipp war sehr hilfreich und ich habe meinen Fehler gefunden. Ich dachte es wäre möglich ein

x

außerhalb der 3 Teilmengen zu finden.
Vielen Dank daher

Ginso aktiv_icon

12:56 Uhr, 06.11.2015

Lies dir nochmal die Aufgabe durch, es gilt zu zeigen, dass es solche

B, B ʹ, C, C ʹ

gibt.
Und wir haben gezeigt dass es solche gibt, wir können sie sogar angeben mit

B := M

B ʹ = M ʹ \ A ʹ

C = M \ A

C ʹ = A ʹ

waps343 aktiv_icon

20:51 Uhr, 06.11.2015

Wie Xerath schon sagte vielen Dank für deine Hilfe und ich hab es soweit verstanden

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