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Beweise Äquivalenzrealtion

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Äquivalenzrelation, Beweis

 
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Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

17:05 Uhr, 06.11.2024

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Hallo liebe Forenmitglieder,
nun ist es wieder so weit und ich bin fleißig am Üben. Jedoch bin ich mir mit meiner Bearbeitung wieder einmal nicht so sicher.

Aufgabe:

Betrachtet wird auf die Relation definiert durch
abc+:b= ac.

(a)Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf ist.
(b)Beweise die Aussage: VV x:y{-1,0,1}:xy.
(c)Widerlege die Aussage: VV x: VV y{-1,0,1}:xy.

Mein Lösungsvorschlag

(a)Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf ist.

Damit eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.

1.Reflexivität (Jedes Element steht zu sich selbst in Relation).
Ich muss also zeigen, dass aa für alle a gilt.
Wenn aa gilt, muss ein c+ existieren, sodass gilt b=ac
Für c=1 gilt: a=a1, also a=a (wahre Ausssage)
Damit ist die Bedingung b=a erfüllt.
Folglich gilt aa für alle a. Die Relation ist somit reflexiv.

2.Symmetrie
Symmetrie bedeutet, dass wenn ab gilt, auch ba gelten muss. ( abba für alle a,b).
Ich muss zeigen, dass wenn es ein c+ gibt, sodass b=ac gilt, auch ein d+ existiert, sodass a=bd gilt.
Hierzu löse ich b=ac nach a auf:
a=bc
Mit d=1c(d+, da c+ und damit auch 1c+ gilt)
folgt:
a=bd

Ich bin mir nicht sicher, ob hier noch eine Überprüfung notwendig ist, dass a=bd gilt. Falls ja, hätte ich noch ergänzt:
Für d=1c+ und a,b gilt:
a=bd=(ac)(1c)=a(c(1c))=a1=a
Die Relation ist somit symmetrisch.

3.Transitivität
Transitivität bedeutet, dass falls ab und bc gilt, dann muss ac folgen (anders geschrieben: abbcac für alle a,b,c).
wenn ab gilt, dann bedeutet das, dass ein c1+ existiert, sodass b=ac1 gilt.
Wenn bc gilt, dann bedeutet das, dass ein c2+ existiert, sodass c=b+c2 gilt.
Hierzu setze ich b=ac1c=bc2 ein. Daraus folgt:
c=(ac1)c2
c=a(c1c2)
Weil c1+ und c2+ muss auch das Produkt c1c2+ gelten.
Somit folgt:
ca muss gelten.

Die Relation ist transitiv.
Es handelt sich bei der Relation um eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

(b) Beweise die Aussage: VV x:y{-1,0,1}:xy.

Hier muss ich zeigen, dass für jedes x ein y{-1,0,1} existiert, sodass xy gilt.
Hier würde ich mit einer Fallunterscheidung arbeiten:

1.Fall: x<0
Wenn x<0 muss wegen xy gelten: y=-1
Wenn xy gilt, muss ein c+ existieren, sodass x=yc gilt.
Für y=-1 und c=-x für x<0 (wobei c+, da das Negative einer negativen Zahl wieder positiv ist) folgt:
x=-1(-x)
x=x (wahre Aussage)
Daher gilt für den 1. Fall die Relation xy

2.Fall: x=0
Hierbei gilt: y=0
Um zu zeigen, dass xy gilt, muss wieder überprüft werden, ob ein c+ exisitiert, sodass gilt x=yc

Für c=1(c+ ist erfüllt) und y=0 gilt:
x=01
0=0 (wahre Aussage)
Somit gilt die Relation xy auch für den 2. Fall.

3.Fall: x>0
Hier soll gelten: y=1
Wenn c=x(c+ ist erfüllt, weil x>0 gilt) und y=1 dann folgt für x=yc
x=1x
x=x (wahre Aussage)

Die Relation xy gilt auch für den 3. Fall.

Da die Relation für alle Fälle gilt, ist die Aussage bewiesen.

(c)Widerlege die Aussage: VV x: VV y{-1,0,1}:xy.
Hier würde ich die Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

Damit xy gilt, muss es ein c+ geben, sodass x=yc gilt.
Für x=1 und y=0 folgt:
1=0c
1=0 (falsche Aussage)
Somit existiert kein c+ für das die Relation für xy mit x=1 und y=0 erfüllt ist.

Die Aussage VV x: VV y{-1,0,1}:xy ist somit widerlegt.


Ich danke euch vielmals für eure Hilfe!

Liebe Grüße
Sophia


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:51 Uhr, 06.11.2024

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Hallo,

im Wesentlichen in Ordnung (habe es gegen Ende nur noch überflogen).
Der Nachweis a=bd scheint mir nicht (Mehr) nötig.

Ich nehme für (b) und (c) an, dass "VV" für "" (d.h. "für alle") stehen soll?!

(c) lässt sich leicht widerlegen, dein Gegenbeispiel ist geeignet.

(b) ginge wohl einfacher, indem du kurz nachrechnest, dass 0x nur für x=0 gilt.
Nachdem man das abgehakt hat kann man x0 hernehmen, woraus 1x folgt.
Es gilt dann x1x={1,x>0-1,x<0

Falls du die "Vorzeichenfunktion" sgn (signum: lat. für (Vor-)Zeichen) schon kennen solltest, genau so ist sie definiert:
sgn(x)={0,x=01,x>0-1,x<0

Mfg Michael
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:41 Uhr, 07.11.2024

Antworten
(gelöscht - hatte den Beitrag von michaL erst gar nicht gesehen)

Frage beantwortet
Sophia77

Sophia77 aktiv_icon

11:20 Uhr, 08.11.2024

Antworten
Entschuldigt vielmals, dass ich nun erst antworte!

Vielen herzlichen Dank michaL und natürlich auch dir HAL9000! :-)

Dankeschön für den tollen und kürzeren Lösungsvorschlag für die Aufgabe b) Das kannte ich noch nicht. Vielen lieben Dank!

Grüße
Sophia