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Beweise Äquivalenzrealtion

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Äquivalenzrelation, Beweis

Sophia77 aktiv_icon

17:05 Uhr, 06.11.2024

Hallo liebe Forenmitglieder,
nun ist es wieder so weit und ich bin fleißig am Üben. Jedoch bin ich mir mit meiner Bearbeitung wieder einmal nicht so sicher.

Aufgabe:

Betrachtet wird auf

ℝ

die Relation

\equiv

definiert durch

a \equiv b \Leftrightarrow \exists c \in ℝ^{+} : b =

ac.

(a)

Zeige, dass

\equiv

eine Äquivalenzrelation auf

ℝ

ist.

(b)

Beweise die Aussage: VV

x \in ℝ : \exists y \in {- 1,0,1} : x \equiv y

(c)

Widerlege die Aussage: VV

x \in ℝ :

y \in {- 1,0,1} : x \equiv y

.

Mein Lösungsvorschlag

(a)

Zeige, dass

\equiv

eine Äquivalenzrelation auf

ℝ

ist.

Damit eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.

1 .

Reflexivität (Jedes Element steht zu sich selbst in Relation).
Ich muss also zeigen, dass

a \equiv a

für alle

a \in ℝ

gilt.
Wenn

a \equiv a

gilt, muss ein

c \in ℝ^{+}

existieren, sodass gilt

b = a \cdot c

Für

c = 1

gilt:

a = a \cdot 1,

also

a = a

(wahre Ausssage)
Damit ist die Bedingung

b = a

erfüllt.
Folglich gilt

a \equiv a

für alle

a \in ℝ

. Die Relation ist somit reflexiv.

2 .

Symmetrie
Symmetrie bedeutet, dass wenn

a \equiv b

gilt, auch

b \equiv a

gelten muss. (

a \equiv b \Rightarrow b \equiv a

für alle

a, b \in ℝ)

.
Ich muss zeigen, dass wenn es ein

c \in ℝ^{+}

gibt, sodass

b = a \cdot c

gilt, auch ein

d \in ℝ^{+}

existiert, sodass

a = b \cdot d

gilt.
Hierzu löse ich

b = a \cdot c

nach a auf:

a = \frac{b}{c}

Mit

d = \frac{1}{c} (d \in ℝ^{+},

c \in ℝ^{+}

und damit auch

\frac{1}{c} \in ℝ^{+}

gilt)
folgt:

a = b \cdot d

Ich bin mir nicht sicher, ob hier noch eine Überprüfung notwendig ist, dass

a = b \cdot d

gilt. Falls ja, hätte ich noch ergänzt:
Für

d = \frac{1}{c} \in ℝ^{+}

und

a, b \in ℝ

gilt:

a = b \cdot d = (a \cdot c) \cdot (\frac{1}{c}) = a \cdot (c \cdot (\frac{1}{c})) = a \cdot 1 = a

Die Relation ist somit symmetrisch.

3 .

Transitivität
Transitivität bedeutet, dass falls

a \equiv b

und

b \equiv c

gilt, dann muss

a \equiv c

folgen (anders geschrieben:

a \equiv b \land b \equiv c \Rightarrow a \equiv c

für alle

a, b, c \in ℝ)

.
wenn

a \equiv b

gilt, dann bedeutet das, dass ein

c_{1} \in ℝ^{+}

existiert, sodass

b = a \cdot c_{1}

gilt.
Wenn

b \equiv c

gilt, dann bedeutet das, dass ein

c_{2} \in ℝ^{+}

existiert, sodass

c = b + c_{2}

gilt.
Hierzu setze ich

b = a \cdot c_{1} \in c = b \cdot c_{2}

ein. Daraus folgt:

c = (a \cdot c_{1}) \cdot c_{2}

c = a \cdot (c_{1} \cdot c_{2})

Weil

c_{1} \in ℝ^{+}

und

c_{2} \in ℝ^{+}

muss auch das Produkt

c_{1} \cdot c_{2} \in ℝ^{+}

gelten.
Somit folgt:

c \equiv a

muss gelten.

Die Relation ist transitiv.
Es handelt sich bei der Relation um eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

(b)

Beweise die Aussage: VV

x \in ℝ : \exists y \in {- 1,0,1} : x \equiv y

.

Hier muss ich zeigen, dass für jedes

x \in ℝ

ein

y \in {- 1,0,1}

existiert, sodass

x \equiv y

gilt.
Hier würde ich mit einer Fallunterscheidung arbeiten:

1 .

Fall:

x < 0

Wenn

x < 0

muss wegen

x \equiv y

gelten:

y = - 1

Wenn

x \equiv y

gilt, muss ein

c \in ℝ^{+}

existieren, sodass

x = y \cdot c

gilt.
Für

y = - 1

und

c = - x

für

x < 0

(wobei

c \in ℝ^{+},

da das Negative einer negativen Zahl wieder positiv ist) folgt:

x = - 1 \cdot (- x)

x = x

(wahre Aussage)
Daher gilt für den 1. Fall die Relation

x \equiv y

2 .

Fall:

x = 0

Hierbei gilt:

y = 0

Um zu zeigen, dass

x \equiv y

gilt, muss wieder überprüft werden, ob ein

c \in ℝ^{+}

exisitiert, sodass gilt

x = y \cdot c

Für

c = 1 (c \in ℝ +

ist erfüllt) und

y = 0

gilt:

x = 0 \cdot 1

0 = 0

(wahre Aussage)
Somit gilt die Relation

x \equiv y

auch für den 2. Fall.

3 .

Fall:

x > 0

Hier soll gelten:

y = 1

Wenn

c = x (c \in ℝ +

ist erfüllt, weil

x > 0

gilt) und

y = 1

dann folgt für

x = y \cdot c

x = 1 \cdot x

x = x

(wahre Aussage)

Die Relation

x \equiv y

gilt auch für den 3. Fall.

Da die Relation für alle Fälle gilt, ist die Aussage bewiesen.

(c)Widerlege die Aussage: VV

x \in ℝ :

y \in {- 1,0,1} : x \equiv y

.
Hier würde ich die Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

Damit

x \equiv y

gilt, muss es ein

c \in ℝ^{+}

geben, sodass

x = y \cdot c

gilt.
Für

x = 1

und

y = 0

folgt:

1 = 0 \cdot c

1 = 0

(falsche Aussage)
Somit existiert kein

c \in ℝ^{+}

für das die Relation für

x \equiv y

mit

x = 1

und

y = 0

erfüllt ist.

Die Aussage VV

x \in ℝ :

y \in {- 1,0,1} : x \equiv y

ist somit widerlegt.

Ich danke euch vielmals für eure Hilfe!

Liebe Grüße
Sophia

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michaL aktiv_icon

18:51 Uhr, 06.11.2024

Hallo,

im Wesentlichen in Ordnung (habe es gegen Ende nur noch überflogen).
Der Nachweis

a = b d

scheint mir nicht (Mehr) nötig.

Ich nehme für (b) und (c) an, dass "VV" für "

\forall

" (d.h. "für alle") stehen soll?!

(c) lässt sich leicht widerlegen, dein Gegenbeispiel ist geeignet.

(b) ginge wohl einfacher, indem du kurz nachrechnest, dass

0 \sim x

nur für

x = 0

gilt.
Nachdem man das abgehakt hat kann man

x \neq 0

hernehmen, woraus

\frac{1}{∣ x ∣} \in ℝ ⁺

folgt.
Es gilt dann

x \cdot \frac{1}{∣ x ∣} = {\begin{aligned} 1, & x > 0 \\ - 1, & x < 0 \end{aligned}

Falls du die "Vorzeichenfunktion"

sgn

(signum: lat. für (Vor-)Zeichen) schon kennen solltest, genau so ist sie definiert:

sgn (x) = {\begin{aligned} 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \\ - 1, & x < 0 \end{aligned}

Mfg Michael

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