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Beweisen oder Widerlegen...

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Tags: Aussagenlogik, Beweis, Junktoren, Sonstiges, widerlegen

Steve021090 aktiv_icon

10:45 Uhr, 24.10.2011

Hallo miteinander,

ich habe folgende Probleme:
Ich soll folgende Aussagen beweisen oder widerlegen:

1) \forall x \in ℕ \exists y \in ℕ : x + y

ist gerade
Ich würde hier die Negation bilden (wenn sie so richtig ist):

\exists x \in ℕ \forall y \in ℕ : x + y

ist ungerade
und dann versuchen, einen Gegenbeweis zu finden,

z . B

x = 1

dafür gilt ja dann die Negation nicht, daher haben wir hier einen Widerspruch und somit müsste doch die Aussage bewiesen sein, oder?

2) \forall x \in ℤ \exists y \in ℕ : x - y < 0

Hier würde ich analog die Negation bilden:

\exists x \in ℤ \forall y \in ℕ : x + y > 0,

um dann wieder ein Gegenbeweis zu suchen.

Kann ich so argumentieren, oder ist das nicht als Beweis zulässig? Wir haben leider in den Vorlesung keine Beweise zu diesen Thema gemacht und in meinem schlauen Mathebuch finde ich ebenfalls keine.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

11:00 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

ach, Logik ist 'ne schwierige Sache. Geh noch mal in dich und überlege. Du sollst eine Aussage

A

beweisen. Du bildest die Negation

\neg A

. Du findest für die Negation ein Gegenbeispiel für

\neg A

.
Ist damit die ursprüngliche Aussage

A

bewiesen?

Konkret zu deinem Beispiel mit

x = 1

. Hast du damit nicht nur bewiesen, dass die Spezialisierung von Aussage

A

für

x = 1

gilt?

Insbesondere in diesem Fall ist doch auch ein direkter Beweis sehr einfach. Wenn du deine offenbar noch nicht auf diech eingestellte Mathe-Brille nämlich mal wieder absetzt, dann wird dir doch sicher einfallen, welche Zahl für

y

geeignet wäre, wenn

x =

1
2
3
4
5
6
7
8
9
usw. gilt.
Hier würde ich viel eher versuchen, ein passendes

y

direkt anzugeben! Sei dabei nicht kreativ, sondern nimm stets das kleinst mögliche

y

. Wenn du das nämlich für alle Zahlen von 1 bis 10 gemacht hast, wird dir sicher(!) was auffallen.

Und erst dann kommt wieder die Mathe-Brille. Dann wird "formalisiert". Und nur das Formalisieren ist hier das Lernziel (das und offenbar mit Quantoren zu spielen). (Sorry, aber die "richtige" Mathe kommt erst noch...)

Zur 2. Aufgabe: da reicht die Angabe eines Gegenbeispiels, da diese Aussage nicht immer gilt. Aber suchen musst du allein (d.h. wenigstens ohne mich).

Mfg Michael

Steve021090 aktiv_icon

11:35 Uhr, 24.10.2011

Achja, klar. Jetzt war die 1. Aufgabe doch leicht. Habe es so, wie du sagst, mit einem direkten Beweis gemacht, nachdem ich für alle

x

von

1 - 10

ein passendes

y

gesucht habe.

Zum zweiten bin ich noch am Suchen, wobei mir hier kein Gegenbeispiel einfällt, deswegen probiere ich noch herum .

Danke in jedem Fall!

michaL aktiv_icon

11:38 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

willst du zwecks Kontrolle dein Ergebnis zu 1. hier angeben?

Ein Gegenbeispiel ist bei 2. nicht wirklich schwierig. Versuch die Aussage zu verstehen!

Mfg Michael

Steve021090 aktiv_icon

11:44 Uhr, 24.10.2011

Jap, ich hoffe doch, dass das richtig ist.

\forall x \in ℕ \exists y \in ℕ : A

A = x + y

sind gerade
für:

x = 1

wähle ich

y = 1

x = 2

wähle ich

y = 2

x = 3

wähle ich

y = 1

x = 4

wähle ich

y = 2

. .

. .

. .

x = 9

wähle ich

y = 1

x = 10

wähle ich

y = 2

\Rightarrow

Wenn

x

gerade:

y = 2,

wenn

x

ungerade:

y = 1

A = x + y

sind gerade

\Rightarrow A 1 = (2 x) + (2 y) \Rightarrow A 2 = 2 (x + y) \Rightarrow

Aussage A ist wahr.

Habe ich das so richtig verstanden?

Die zweite Aussage sagt doch, dass ich für alle

x \in ℤ

ein

y \in ℕ

suchen soll, so dass gilt

x - y < 0

.
Wähle

x =

x > 0 \to y

muss

> x

sein

x < 0 \to

jedes

y

liefert die wahre Aussage

x = 0 \to

jedes

y

liefert die wahre Aussage

michaL aktiv_icon

12:18 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

ok, 1. sieht gut aus.

Bei 2. war ich voreilig. Aussage ist ja: Für alle ganzen Zahlen gibt es eine NATÜRLICHE Zahl, sodass die Differenz negativ ist.
Am besten wieder so wie eben vorgehen und ein passendes

y

in Abhängigkeit von

x

angeben.

Mfg Michael

Steve021090 aktiv_icon

19:57 Uhr, 24.10.2011

Das zweite soll ja sein:

x + y < 0

Setzen wir also

y = | x | + 1

(was ich ja laut Definition machen darf), erhalten wir 2. Fälle

1. Fall:

x

ist positiv

x - x - 1 < 0 \to

ist wahr, da

x - x = 0

und

- 1

IMMER

< 0

ist.
2. Fall:

x

ist negativ

- x - x - 1 < 0 \to

ist wahr, da

- 2 x - 1

immer

< 0

ist

Sehe ich das nun richtig?

michaL aktiv_icon

20:06 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

ich finde, es sieht gut aus. (Gebe zu bedenken, dass ich das grad nur noch mal überflogen habe.)

Mfg Michael

930402

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