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Beweiß Maß von Limes Superior

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: endlich, lim, Maßtheorie

radi22 aktiv_icon

12:43 Uhr, 31.10.2017

Es sei

u

ein Maß auf einem Sigma-Ring

(A_{n}

Folge von Elementen von

R)

. Gelte

\sum_{n = 1}^{\infty} u (A_{n}) < \infty

.
Zeige, dass dann u(limsup

A_{n}) = 0

A_{n} := ⋂_{N = 1}^{\infty} ⋃_{k = n}^{\infty} A_{k}

.

Ich brauche mal einen Denkanstoss für die Aufgabe.

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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12:49 Uhr, 31.10.2017

u (\sum_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq \sum_{k = n}^{\infty} u (a_{k}) \to 0

bei

n \to \infty

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15:36 Uhr, 31.10.2017

Hmm, das hilft mir noch nicht so wirklich weiter.

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15:46 Uhr, 31.10.2017

Eigentlich ist es schon fast die Lösung.

limsup A_{n} = \cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}

limsup A_{n} \subset \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}

für alle

n

u (limsup A_{n}) \leq u (\cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq \sum_{k = n}^{\infty} u (A_{k})

.

Was rechts steht, geht gegen

0

bei

n \to \infty

. Aber

u (limsup A_{n})

hängt nicht von

n

ab. Damit kann es nur

0

sein, denn es ist eine feste Zahl, welche kleiner gleich eine Nullfolge ist.
Fertig.

radi22 aktiv_icon

15:55 Uhr, 31.10.2017

Wieso gilt die letzte Ungleichung wenn ich den Schnitt weglasse wird es ja im Allgemeinen größer und wieso kannst du hier

n \to \infty

betrachten? Das muss ja nicht sein.

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16:17 Uhr, 31.10.2017

"Wieso gilt die letzte Ungleichung wenn ich den Schnitt weglasse wird es ja im Allgemeinen größer und wieso kannst du hier n→∞ betrachten? Das muss ja nicht sein."

Ich lasse hier nichts weg, ich argumentiere Schritt für Schritt.
Erstens, der Schnitt

\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}

liegt in jeder Menge

\cup_{k = n}^{\infty} A_{k}

- das ist vermutlich das, was Du mit "Schnitt weglassen" meinst. Und ja, die Menge wird dadurch "größer". Daher gilt ja

u (\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq u (\cup_{k = n}^{\infty} A_{k})

.

Zweitens,

u (\cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq \cup_{k = n}^{\infty} u (A_{k})

- das ist die

σ

-Subaddivität:
de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Subadditivit%C3%A4t

Drittens, da

\cup_{k = 1}^{\infty} u (A_{k}) < \infty

, folgt

\cup_{k = n}^{\infty} u (A_{k}) \to 0

bei

n \to \infty

.

Jetzt versuche es etwas anders zu erklären, warum daraus folgt, dass

u (\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) = 0

.
Angenommen, es würde

u (\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) > 0

gelten. Sei diese Zahl

a

.
Dann würde ein Index

n_{0}

existieren, so dass

\cup_{k = n}^{\infty} u (A_{k}) < a

für

n > n_{0}

, das folgt aus der Definition des Grenzwertes.
Damit wäre aber

a = u (\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq u (\cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) \leq \cup_{k = n}^{\infty} u (A_{k}) < a

. Das ist ein Widerspruch, der zeigt, dass unsere Annahme falsch war. Damit gilt

u (\cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} A_{k}) = 0

.

Im übrigen würdest Du genau diesen Beweis in vielen Büchern/Skripten finden, wenn Du etwas fleißiger wärst und danach gesucht hättest.

radi22 aktiv_icon

17:16 Uhr, 31.10.2017

Ja ich melde mich dann aber lieber immer in einem Forum, da man da doch erst noch selber überlegt bevor man die Lösung sieht, aber prinzipiell hast du Recht, ich hätte auch woanders gucken können.

Ok Danke, das habe ich verstanden. Noch eine kurze Frage, du schreibst manchmal anstatt

\sum (u (A_{k})) = u (⋃ A_{k})

oder? Das ist ja prinzipiell nur die Definition von dem Maß aber wollte nur Fragen.

DrBoogie aktiv_icon

17:23 Uhr, 31.10.2017

Gleich ist es nur, wenn die Menge paarweise disjunkt sind. Das müssen sie in diesem Fall nicht unbedingt sein.

radi22 aktiv_icon

17:26 Uhr, 31.10.2017

aber meinst du dann nicht bei "Drittens" ganz am Ende eher die Summe als die Vereinigung? Und Davor auch schon, weil die Voraussetzung ist ja, dass die Summe

< \infty

ist und nicht die

⋃

DrBoogie aktiv_icon

17:27 Uhr, 31.10.2017

"aber meinst du dann nicht bei "Drittens" ganz am Ende eher die Summe als die Vereinigung? "

Ach so, da müssen tatsächlich die Summen stehen, sonst ist es sinnlos.

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