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Boolsche Algebra Beweis
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Boolsche Algebra
 
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Hallo mal wieder. Ich übe zurzeit Boolsche Algebra und stehe vor der folgenden Frage: Die Äquivalenz (NOXOR) ist wie folgt definiert: (¬x ¬y) Für die Äquivalenz gilt folgendes Gesetz: ¬x Beweisen Sie dieses Gesetz durch algebraische Umformungen mit den Rechenregeln der Boolschen Algebra. Geben Sie hierbei für jeden Umformungsschritt an, welches Gesetz verwendet wurde. Da ich sehr schlecht im Beweisen bin und auch keine Ahnung habe, wie ein Beweis am Ende aussehen soll (und dieser sehr seltsam aussieht), habe ich mal meine willkürliche Umformung hier notiert. Ist das richtig oder falsch? Wenn es falsch ist, wie wäre der richtige Beweis? Irgendwelche Fehler vorhanden? ¬a ¬b ) ¬a ¬b Kommutativgesetz (¬a ¬b) (¬a ¬b) Distributivgesetz (¬a ¬b) (¬a ¬b) )Kommutativgesetz ¬a) ¬b)) ¬a) ¬b)) Distributivgesetz ¬b)) ∧ ¬a) Komplementärgesetz ∧ 1 ∧ ¬ ∧ (¬a Distributivgesetz & Kommutativgesetz ∧ ¬b) ∧ ¬(a ¬b) Idempotenzgesetz & DeMorgansches Gesetz ∧ 0Komplementärgesetz Ich bedanke mich für jedes konstruktive Input :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, warum setzt du in die Definition von nicht einfach ? Macht die Sache viel einfacher. Zudem glaube ich, dass dir im unteren Bereich einmal ein "" aus der Klammer gerutscht ist. Mfg Michael |
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Geht das denn so einfach? Welches Gesetz würde ich denn da anwenden? Und wenn ich ¬x setze, steht dann doch da: ¬x) (¬x ¬¬x) ¬x) (¬x Was nach komplementärgesetz das hier wäre: Und bei dem ¬ aus der Klammer dachte ich, dass ich einfach die Klammer weglassen könnte: (¬(a ¬(a //EDIT: Ich habe gerade gesehen, dass ich vergessen habe, ein Zeichen umzudrehen. Die vorletzte und vorvorletzte Zeile müssten wie folgt lauten: ∧ 1 ∧ ¬ (¬a ∧ ¬b) ¬(a ¬b) DeMorgansches Gesetz Und dann komme ich da schon wieder nicht weiter |
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Hat hier jemand noch einen hilfreichen Ansatz? |
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Hallo, > Geht das denn so einfach? Warum sollte es das nicht? > Welches Gesetz würde ich denn da anwenden? Kein Gesetz. Du verwendest die Definition für konkret mit . [...] > (0)∨(0) Was man ja noch vereinfachen könnte, oder? [...] > Und dann komme ich da schon wieder nicht weiter Tja, dann vielleicht doch mein Tipp?! Mfg Michael |
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Njjaaah, wenn ich nochmal drüber schaue ist das schon richtig. Was mir nur zu denken gibt, ist, dass die Aufgabenstellung lautet "Beweisen Sie dies durch algebraische Umformung mit Rechenregeln der Booleschen Algebra." und so wie Du das vorgeschlagen hast wird dabei keine dieser Rechenregeln verwendet, oder täusche ich mich da? |
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Hallo, ist eine der booleschen Regeln etwa ? Zudem müsstest du verwenden, sofern ihr das schon hattet. Mfg Michael |
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Ja, das ist eine der Regeln, aber ich bin gerade selbst auf die Lösung gekommen: Hier noch einmal die Äquivalenz: ¬x ¬y) Als erstes erweitere ich um die denn was bereits da steht ist alles wahr, 0 bedeutet falsch und die Äquivalenz ist entweder komplett wahr oder komplett falsch, insofern kann man es auch so schreiben: ¬x ¬y) Dies würde folglich in Laienschreibweise bedeuten: (Falsche Aussage) oder (Wahre Aussage) oder (Falsche Aussage) oder (Wahre Aussage) Dann wende ich das Komplementärgesetz ¬a rückwärts an: ¬x ¬y ¬x ¬y) Als nächstes das Distributivgesetz (ich klammere sozusagen einmal das und einmal das ¬y aus): ¬x ¬y ¬x Die äußeren Klammern kann man weglassen, da mächtiger ist als (genauso wie Punkt vor strich): ¬x ¬y ¬x Danach wende ich noch einmal das Distributivgesetz an und klammere (¬x aus: ¬x ¬y ) Und voilà! Es ist bewiesen. Wieso? und können entweder wahr oder falsch, aber nicht beides sein. Man kann einfach einsetzen: Entscheiden wir spontan, dass falsch ist. Nun haben wir die erste Klammer bereits erfüllt. Damit die Gesamtaussage jedoch wahr wird, muss auch die zweite Klammer stimmen und dieser widmen wir uns jetzt: Bei Klammer zwei haben wir nun die Wahl zwischen wahrem oder falschem . Da wir bereits entschieden haben, dass falsch ist, bleibt uns nur noch das falsche als Wahlmöglichkeit, denn kann nicht zeitgleich wahr und falsch sein. Das gleiche kann man auch umgekehrt machen: Haben wir uns am Anfang für wahres entschieden, bleibt uns bei Klammer 2 nur eine Wahl: wahres denn falsches geht dort auch nicht, da auch nicht wahr und falsch zugleich sein kann. Ich hoffe, dass alle mit einem ähnlichen Problem hiervon profitieren |
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