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Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Cauchy Schwarz Ungleichung, Vollständig Induktion

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20:00 Uhr, 31.10.2012

Guten Abend,

ich hänge mal wieder an einem Beweis und zwar an diesem hier:

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}} \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}}

.

Dazu habe ich 3 Fragen.
1. Müsste es am auf der linken Seite noch Betragsstriche um die Summe stehen?

2. Ich soll dies für n=2 direkt beweisen. Ich bin soweit gekommen:

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \leq \sqrt{a_{1}^{2} b_{1}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} + a_{2}^{2} b_{2}^{2}}

. Kann mir jemand sagen wie ich nun weitermachen soll?

3. Wie führe ich den Beweis für n+1 durch. Ich habe schon einige Beweise im Internet mir angesehen doch dort befindet sich auf der linken Seite noch ein Quadrat und auf der rechten keine Wurzeln, jedoch ist das Quadrieren ja keine Äquivalenzumformung..... Hat jemand eine Idee wie man den Beweis durchführen könnte?

Vielen Dank schon im Vorraus.
Tippfehler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Mittwoch aktiv_icon

11:01 Uhr, 02.11.2012

Du kannst ohne Weiteres auch Betragsstriche machen wenn du willst - die Aussage bleibt richtig. Das siehst du zum Beispiel so: Immer dann wenn für ein

k

die beiden reellen (du meinst wahrscheinlich

a_{k}, b_{k} \in ℝ

oder? - die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung gilt etwa auch für

ℂ

) Zahlen

a_{k}, b_{k}

ungleiches Vorzeichen haben nimmst du statt etwa

a_{k}

einfach

- a_{k}

. Dann ist links für jedes

k

das Produkt

a_{k} b_{k} \geq 0

, also gleich seinem Betrag, und auf der rechten Seite ändert sich nichts, weil du ja ohnehin quadrierst. Wir haben also gezeigt, dass sogar

\sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{k} b_{k} ∣ \leq {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

gilt, also erst recht

∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣ \leq {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

,

denn es gilt natürlich

∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣ \leq \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{k} b_{k} ∣

(wegen der Dreiecksungleichung)

Nun zu 2) und 3): Das Quadrieren bzw. Wurzelziehen ist zumindest dann eine Äquivalenzumformung, wenn die beteiligten Größen

\geq 0

sind. Wenn du also aus den Beweisen, die du im Internet gefunden hast verstehst, dass

∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣^{2} = {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \leq (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})

dann können wir schließen

∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣ \leq {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

Das ist die Aussage der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung wie sie meistens formuliert wird. Man kommt natürlich (wieder mit der Dreiecksungleichung) auch wieder auf die Form, wie du sie am Anfang stehen hast, also:

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣ \leq {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})}^{\frac{1}{2}}

Liebe Grüße, Mittwoch

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