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Cauchy-Verdichtungskriterium anwenden

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchykriterium, Folgen und Reihen, Logarithmus

vv1ntermute aktiv_icon

22:52 Uhr, 14.04.2024

Ich bin im Zuge einer anderen Aufgabe auf die Reihe

\sum_{n \geq 6} \frac{1}{}

(nlogn

+

nloglogn) gekommen. Nun muss ich die Divergenz dieser zeigen, um sie anschließend als Minorante verwenden zu können. Wie kann ich das (mithilfe das Cauchy-Kriteriums) anstellen. Es muss nich zwangsweise das Cauchy-Kriterium sein, dieses war allerdings als Hinweis gegeben und ich bin etwas ratlos.

sry vorab für die schlechte Formatierung, habs leider nicht besser hingekriegt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

07:33 Uhr, 15.04.2024

Hallo,

es geht also um

\sum_{n \geq 6} \frac{1}{n \cdot \log (n) + n \cdot \log (\log (n))}

, welche gemäß Cauchy genau dann konvergiert, wenn die verdichtete Reihe

\sum_{n \geq 6} \frac{2^{n}}{2^{n} \cdot \log (2^{n}) + 2^{n} \cdot \log (\log (2^{n}))} = \sum_{n \geq 6} \frac{1}{\log (2^{n}) + \log (\log (2^{n}))} = \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n \log (2) + \log (n \log (2))} = \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n \log (2) + \log (n) + \log (\log (2))}

\overset{n \geq \log (n)}{\geq} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{\log (n) \log (2) + \log (n) + \log (\log (2))} = \sum_{n \geq 6} \frac{1}{\log (n) (\log (2) + 1) + \log (\log (2))} \overset{\log (\log (2)) < 0}{\geq} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{\log (n) (\log (2) + 1)}

= \frac{1}{\log (2) + 1} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{\log (n)}

Jetzt stellt sich nur die Frage, ob ihr verwenden könnt, dass letztere Reihe divergiert?

Mfg Michael

HAL9000

08:07 Uhr, 15.04.2024

@michaL

Die Abschätzung zu Beginn der zweiten Zeile der Ungleichungskette ist falsch: Es ist

n > \log (n)

und daher zusammen mit

\log (2) > 0

dann

n \log (2) + \log (n) + \log ((2)) > \log (n) \log (2) + \log (n) + \log ((2))

,

was im Kehrwert dann zu

<

wird. Man sollte daher besser in der anderen Richtung abschätzen:

n \log (2) + \log (n) + \log ((2)) < n \log (2) + n

,

letzteres dann auch wegen

\log ((2)) < 0

. Dann folgt die Divergenz per Minorantenkriterium aus der der Harmonischen Reihe.

P.S.: Ohne Verdichtungskriterium könnte man beispielsweise so vorgehen:

Man betrachte die Funktion

g (x) = \log (\log (x))

für

x > 1

, die besitzt die Ableitung

g ´ (x) = \frac{1}{x \cdot \log (x)}

, welche offenbar streng monoton fallend ist. Damit gibt es für

n \geq 2

nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein

ξ

mit

n < ξ < n + 1

und

\log (\log (n + 1)) - \log (\log (n)) = g (n + 1) - g (n) = g ´ (ξ) \cdot 1 < g ´ (n) = \frac{1}{n \log (n)}

.

Es folgt dann unmittelbar per Teleskopsumme

\sum_{n = 6}^{k} \frac{1}{n \cdot \log (n) + n \cdot \log (\log (n))} > \sum_{n = 6}^{k} \frac{1}{2 n \cdot \log (n)} > \frac{1}{2} [\log (\log (k + 1)) - \log (\log (6))] \to \infty

für

k \to \infty

michaL aktiv_icon

09:53 Uhr, 15.04.2024

Hallo,

also wäre mein Hinweis, dass ich in letzter Zeit vermehrt irre, auch hier wieder angebracht gewesen. :-)
Danke für den Hinweis, muss ich mir aber nachher noch anschauen.

Mfg Michael

PS: So, tatsächlich. Es ließe sich aber leicht reparieren. Ich beginne Ende der ersten Zeile und fahr dann fort:

\sum_{n \geq 6} \frac{1}{n \log (2) + \log (n) + \log (\log (2))} \overset{n \geq \log (n)}{\geq} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n \log (2) + n + \log (\log (2))} = \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n (\log (2) + 1) + \log (\log (2))}

\overset{\log (\log (2)) < 0}{\geq} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n (\log (2) + 1)} = \frac{1}{\log (2) + 1} \sum_{n \geq 6} \frac{1}{n}

Auch die harmonische Reihe divergiert (noch), sodass man auf diese Weise die Divergenz der Ausgangsreihe gezeigt hat.

Mfg Michael

PPS: Ohne Gewähr :-)

PPPS: Ah, und auch das stand schon bei dir im posting. Ich hätte es aufmerksamer lesen sollen...

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