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Definitionsbereich von Umkehrfunktion einschränken

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Umkehrfunktion

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13:38 Uhr, 16.02.2014

Hallo zusammen,

habe eine Frage zu Umkehrfunktionen und würde mich sehr freuen, wenn ihr mit da weiter helfen könntet.
Meine Frage lautet: Wie kann man feststellen, ob und wie man den Definitionsbereich einer Funktion einschränken muss, damit man eine Umkehrfunktion bilden kann?

Könnte mir das jemand an einem Beispiel oder an meinem Beispiel erklären?
Bsp.:

f (x) = x^{2} + x - 6

Wie man eine Umkehrfunktion bildet, weiß ich.

y = x^{2} + x - 6

y + 6 + {(\frac{1}{2})}^{2} = {(x + \frac{1}{2})}^{2}

y = \pm \sqrt{x + \frac{25}{4}} - \frac{1}{2}

Nur hier muss man ja offensichtlich wegen dem

x^{2}

den Definitionsbereich einschränken. Nur weiß ich nicht wie.
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

13:53 Uhr, 16.02.2014

"
ob und wie man den Definitionsbereich einer Funktion einschränken muss,
damit man eine Umkehrfunktion bilden kann?"

Tipp:

suche die Intervalle, in denen

f

streng monoton (steigend .. bzw fallend ) ist
(dazu hilft dann die Ableitung weiter..)

nebenbei:
"Wie man eine Umkehrfunktion bildet, weiß ich."

\to

echt ?

\to

\to

"etwas abgekürzt .. "

Mathometer aktiv_icon

13:56 Uhr, 16.02.2014

Vielen Dank für Deine Antwort. Werde die Monotonie der Funktion mal untersuchen, melde mich dann gleich wieder :-).

Also, für

x < - \frac{1}{2}

ist die Funktion streng monoton fallend und für

x > - \frac{1}{2}

ist sie streng monoton wachsend. Und was muss ich jetzt machen?

Hab meine Ausführung abgekürzt, damit meine Frage nicht so umfangreich wird. Dachte jedem ist bewusst was gemeint ist..

rundblick aktiv_icon

14:03 Uhr, 16.02.2014

"
Und was muss ich jetzt machen?"

\to

ich denke, du willst eine Umkehrfunktion finden??

also: zB für

x > - \frac{1}{2}

wirst du eine finden

\to . .

. welche?

Mathometer aktiv_icon

14:14 Uhr, 16.02.2014

Sorry, aber weiß grad nicht wieso es für

x > - \frac{1}{2}

eine gibt bzw. was die Umkehrfunktion mit der Monotonie zu tun hat.

Underfaker aktiv_icon

22:29 Uhr, 16.02.2014

Das Problem bei dieser Aufgabenstellung ist, dass für verschiedene Elemente die du eingibst, derselbe Funktionswert rauskommt.
Bspw. ist

f (- 3) = f (2) = 0

Deine "Umkehrfunktion" beinhaltet deshalb auch dieses

\pm

Zeichen und widerspricht damit der Definition einer Funktion.
Was du also machen musst, ist dafür zu sorgen, dass du nicht zwei verschiedene Werte eingibst und dasselbe raus kommt.
Diese Eigenschaft nennt man "injektiv". Deine Funktion

f

ist (seperat) injektiv in dem Bereich in dem sie streng monoton steigend ist aber auch wo sie streng monoton fallend ist.

Wenn du also ermittelst hast, dass

f

im Intervall

[- \frac{1}{2}, \infty)

streng monoton steigend ist, dann ist sie hier auch injektiv und du hast das Problem bei der Umkehrung nicht mehr.

Ps: Es ist unter Umständen nicht nur der Definitions- sondern auch der Wertebereich einzuschränken. Es gilt, dass der Wertebereich der ursprünglichen Funktion gleich dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist.

Als Beispiel betrachten wir

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = x^{2}

offensichtlich ist die Funktion weder injektiv noch surjektiv.
Wenn wir nun

f

wie folgt einschränken:

ℝ_{0}^{+} \to ℝ

dann ist

f

injektiv.
Die dazugehörige Umkehrfunktion

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}

ist aber nicht für den kompletten Wertebereich von

f

definiert, nämlich für alle reellen Zahlen.
Bspw. wäre

\sqrt{- 5}

nicht definiert (In den reellen Zahlen), siehst du den Zusammenhang?

pps: Eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion falls sie bijektiv ist.

Mathometer aktiv_icon

15:33 Uhr, 17.02.2014

Klasse Erklärung, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!

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