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Die Variable t und Wendepunkt berechnen

Schüler

Tags: Variable t, Wendepunkt

lilly25 aktiv_icon

11:52 Uhr, 16.12.2011

Ich soll für folgende Funktion den Wendepunkt ausrechnen:

f (x) = t x^{2} - \frac{2}{3} x^{4}

Die Ableitungen hab ich schon gemacht (ich hoffe richtig):

f' (x) = 2 t x - 4 x^{3}

f'' (x) = 2 t - 12 x^{2}

f''' (x) = - 24 x

Notwendige Bedingungen für einen Wendepunkt ist:

f'' (x) = 0

2 t - 12 x^{2} = 0

So, und hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich kann leider mit dem

t

nicht umgehen, da ich es nicht wie eine Zahl behandeln kann obwohl es sich so verhält/verhalten soll. Die Eingabe in den Taschenrechner funktioniert auch nicht. Wie stelle ich diese Gleichung

(2 t - 12 x^{2} = 0)

nach

x

um bzw. wie finde ich

x

heraus?

Für eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

11:55 Uhr, 16.12.2011

Erste Ableitung ist falsch:

f' (x) =

2tx

- \frac{8}{3} x^{3}

entsprechend sind die anderen auch falsch..., musst du nochmal machen, dann kümmern wir uns um den WP

CKims aktiv_icon

11:57 Uhr, 16.12.2011

kleiner fehler bei der ableitung

f' (x) = 2 t x - \frac{8}{3} x^{3}

f'' (x) = 2 t - 8 x^{2}

f''' (x) = - 16 x

dann

2 t - 8 x^{2} = 0

2 t = 8 x^{2}

\frac{1}{4} t = x^{2}

\pm \sqrt{\frac{1}{4} t} = x

\pm \frac{\sqrt{t}}{2} = x

und jetzt kann man

t

frei wählen... nun gucken wie es mit der zweiten bedingung fuer einen wendepunkt aussieht...

lilly25 aktiv_icon

12:09 Uhr, 16.12.2011

Ich frage mich gerade, wie zum Teufel ich auf

- 4 x^{3}

in der 1. Ableitung komme... oO Wenn ich es nachrechne, kommt bei mir auch

- \frac{8}{3} x^{3}

raus...

Welche Methode muss ich bei dem

t

anwenden?

Die Zweite Bindung für den Wendepunkt ist, das weiß ich, dass

f''' (x) \neq 0

sein muss.

Aber jetzt bin ich verwirrt... die Funktion kann eig. keinen Wendepunkt haben, da

f''' (x) = 16 x

aufgelöst 0 ergibt... oder vertue ich mich da? Ich glaub, ich irre mich, aber ich komme einfach auf kein gescheites Ergebnis für

f''' (x) \neq 0

Underfaker aktiv_icon

12:19 Uhr, 16.12.2011

Was meinst du mit Methode?

Das

t

bleibt erstmal so wie es ist.

Du musst nun deine beiden x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen um zu sehen ob es ein Wendepunkt ist.

lilly25 aktiv_icon

12:26 Uhr, 16.12.2011

Ich kann mit dem

t

nicht umgehen (auch, wenn es ein

a,

oder

c,

oder

g

wäre), weil ich es nicht wie eine Zahl behandeln und herumschieben kann etc. Ich stelle die Gleichung zu

- 8 x^{2} = - 2 t

um und weiß nicht, was ich dann mit dem

t

machen soll,

v . a

. nicht in Verbindung mit

x^{2} . .

.

Und wenn ich nicht rausfinde, was

x

ist, kann ich auch die Aufgabe nicht lösen...

> . <

Aber

\pm \frac{\sqrt{t}}{2}

eingesetzt in

f''' (x) = - 16 x

ist

f''' (x) = - 16 \cdot \pm \frac{\sqrt{t}}{2}

und das ist, soweit ich es erkenne, nicht 0?

Underfaker aktiv_icon

12:30 Uhr, 16.12.2011

Na aber gnädigerweise steht das oben doch schon?! Oo

8 x^{2} = 2 t | : 8

x^{2} = \frac{1}{4} t | \sqrt{}

x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4} t} = \pm (0,5 \sqrt{t})

Das ist dein endgültiges Ergebnis für die x-Werte denn der Parameter

t

heißt nichts anderes, als das diese Funktion von diesem abhängt, das heißt man setzt irgendwann für

t

was ein um die Funktion genauer beschreiben zu können, aber allgemein gilt das was oben steht.

Jetzt musst du folgendes machen:

f''' (0,5 \sqrt{t}) \neq 0

f''' (- 0,5 \sqrt{t}) \neq 0

?

Wenn du keine Angabe in der Aufgabe über das

t

hast überlege dir wann welche Werte rauskommen (Tipp:

t < 0; t > 0; t = 0 ...)

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