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Direkter Beweis und vollständige Induktion

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Tags: Beweis

estrelladelanoche aktiv_icon

14:08 Uhr, 10.10.2012

Die Aufgabenstellung lautet:

Man zeige, dass n³-3 für alle n aus den natürlichen Zahlen stehts durch 3 teilbar ist,

mittels

a) direktem Beweis

b) eines Beweises durch vollständige Induktion

Leider bin ich mit dem Thema nicht wirklich vertraut und freue mich über jede Form der Hilfestellung und Unterstützung.

zu a) ich denke ein direkter Beweis besteht aus drei Teilen

-Prämissen und Voraussetzungen

- logische Schlussfolgerung

- Konklusion

Mein Gedankengang:

Voraussetzung: n ist ein Element der natürlichen Zahlen

$n³ - n = n * n² - n = n * (n - 1) * (n + 1)$

Falls meine Überlegung mich weiterbringt, sollte ich so beweisen, dass die Quersumme durch 3 teilbar ist.

Wie kann ich das umsetzen?

b) Vollständige Induktion

Induktionsanfang:

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{n³ - n}{3} m i t n = 3 \frac{3^{3} - 3}{3} = \frac{24}{8} = 8$

Induktionsschritt:

n+1

$\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{n³ - n}{3} + \frac{(n + 1) ³ - (n + 1)}{3} = \frac{n³ - n + (n³ + 3 n² + 3 n + 1) - (n + 1)}{3} = \frac{2 n³ - 3 n² + n}{3}$

Darf ich jetzt aus meinem Induktionsanfang n=3 einsetzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

weisbrot aktiv_icon

14:30 Uhr, 10.10.2012

das mit der quersumme zieht nicht, denn wie willst du denn in diesem produkt die dezimaldarstellung der zahl erkennen? aber das wesentliche hast du ja schon geschafft, du musst nur sehen, dass du ein produkt von drei aufeinander folgenden zahlen hast, deshalb...
ich versteh allerdings nicht ganz was du da in der induktion machst..
wieso summierst du?? und wieso teilst du durch 3??
induktionsanfang kann übrigends auch bei

n = 0

oder

n = 1,

je nachdem, sein.
lg

estrelladelanoche aktiv_icon

14:50 Uhr, 10.10.2012

Wenn ich dich richtig versteh meinst du, dass drei aufeinander folgende Zahlen bei der Division durch 3 verschiedene Reste haben.

Entweder 0, 1 oder 2.

Und weil einer der dreien den Rest 0 hat folgt automatisch das die Teilbarkeit durch 3 gegeben ist.

Richtig?

Wenn ich beim Induktionsanfang 0 einsetze erhalte ich als Ergebnis 0, genauso bei 1 und bei 2 kommt 5/3 raus.

Deswegen habe ich mit n=3 begonnen.

Macht man das anders?

Ich bin mit dieser Art der Beweisführung noch nie in Berührung gekommen.

Vielleicht kannst du mir erklären, wie ich das auflösen sollte.

Danke

Underfaker aktiv_icon

15:02 Uhr, 10.10.2012

Ja anders ausgedrückt, bei drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, muss eine dabei sein die durch drei teilbar ist, somit ist das gesamte produkt durch 3 teilbar.
Man kann sogar zeigen, dass es durch 6 teilbar ist, immerhin ist mit

n

und

(n + 1)

auch wenigstens eine Zahl dabei die durch 2 teilbar ist.

n = 2 \Rightarrow 8 - 2 = 6

und 6 ist durch 3 teilbar, wieso du da 5 raus hast weiß nicht nicht.

Bei der Vollständigen Induktion findet man ein festes

n

für das die Formel gilt im Induktionsanfang und hat damit die Induktionsvoraussetzung: 3 teilt

n^{3} - n

für ein festes

n

.

Dann kommt der Schritt:

n \to n + 1

z

. 3 teilt

{(n + 1)}^{3} - (n + 1)

versuche das so umzuformen, dass man sehen kann, dass die Aussage gilt, benutze hierzu die Induktionsvoraussetzung. (Das nennt man Induktionsschluss).

Der Punkt ist, du musst es für allgemeines

(n + 1)

machen, denn dann gilt ja:

Die Aussage ist für

n = 1

wahr und für

n + 1

also ist sie auch für

1 + 1 = 2

wahr aber auch für

n + 1

also für

2 + 1 = 3

usw.
Damit baut eine Kette für alle natürlichen zahlen auf.

estrelladelanoche aktiv_icon

15:20 Uhr, 10.10.2012

Theoretisch kann ich dir folgen. Ich bin mir noch nicht so sicher wie ich das am besten Umsetzen soll.

Für meinen Induktionsanfang setze ich für n die erste Zahl ein für die diese Aussage gültig ist, also 2.

Und für den Induktionsschritt nehme ich $\frac{(n + 1) ³ - (n + 1)}{3}$ und versuche hier eine Umformung zu finden in der $\frac{n³ - n}{3}$ enthalten ist.

Okay, aber wenn ich den ersten Bruch auflöse, komm ich in ne ganze andere Richtung. Irgendwas stimmt mit meinem Gedankengang immer noch nicht.

Weil aufgelöst sehe ich $\frac{n³ + 3 n² + 3 n + 1 - (n + 1)}{3}$ .

Underfaker aktiv_icon

15:25 Uhr, 10.10.2012

Lass doch mall die 3 weg, das schreibt man für gewönlich nicht hin.

Wenn wir das mal betrachten, dann hast du:

n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n - 1 = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n - n

Und das beinhaltet schon

(n^{3} - n)

von dem wir wissen dass es durch 3 teilbar ist, es reicht zu zeigen, dass der rest durch 3 teilbar ist.

Erklärung: Wenn a durch

b

teilbar ist und

c

durch

b

teilbar ist, dann ist auch

a + c

durch

b

teilbar.
Also wenn

n^{3} - n

durch 3 teilbar ist und

3 n^{2} + 3 n

durch 3 teilbar ist, dann auch die Summe, das zu zeigen sollte einfach sein und dann bist du fertig.

estrelladelanoche aktiv_icon

15:34 Uhr, 10.10.2012

Ich glaube ich denke zu kompliziert.

Danke für die hilfreiche Unterstützung.

Underfaker aktiv_icon

15:36 Uhr, 10.10.2012

Hast du es lösen können?

estrelladelanoche aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.10.2012

Ja, vielen Danke durch deine Hilfe.

Obwohl ich gestehen muss, dass diese Methode für mich noch sehr befremdlich wirkt.

Underfaker aktiv_icon

15:46 Uhr, 10.10.2012

Kein grund zur Besorgnis ist, man stelle sich vor jedem wäre das sofort klar wo wäre dann der Anspruch.

Jedenfalls gern geschehen und viel Erfolg weiterhin.

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