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Division mit Rest in Z

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Beweis, Division, rest

 
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8mileproof

8mileproof aktiv_icon

11:00 Uhr, 30.01.2012

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hallo, ich hab folgenden beweis in meinem skript gefunden (s.bild) und komme nicht klar damit:

es geht um den beweis des folgenden satzes:

Für alle a,b∈ℤ mit b≠0 existieren eindeutige q,r∈ℤ mit a=q⋅b+r und 0≤r<|b|

ich schreib zuersteinmal das auf, was mir klar ist:

also wir wollen ja die eindeutigkeit von q und r zeigen. dazu führen wir die variablen q´ und r´ ein und setzen die gleichung q⋅b-r= q´*b - r´. mir ist ebenfalls klar, warum es (q*q´)b=r-r´. hier fand einfach ne umformung statt und man hat die q´s zusammengefasst.

jetzt kommt der teil, den ich nicht verstehe:

wieso ist auf einmal r-r´=0 ? wenn ich das verstehe, dann ist der rest auch klar denke ich.


nun zum teil der mit "Existenz:..." anfängt:

-hier versteh ich absolut gar nichts, wär nett wenn mir da jmd. helfen könnte...

edit: er versucht das ganze mit der voraussetzung 0≤r<|b| zu zeigen. das ist jetzt schon klar. aber wieso a=r+qb ≥(q+1)b und woher kommt die 1 bei (q+1)?





vielen dank



Bild

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:21 Uhr, 30.01.2012

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Hallo,

die Gleichung für r-r' besagt, dass b ein Teiler von r-r' ist bzw. r-r' ein Vielfaches von b. Vielfache von b sind: b,2⋅b,3⋅b,...,-b,-2⋅b,.... Wegen |r-r'|<b kann dies kein Vielfaches sein.

Die Abschätzung im Existenzbeweis beruht auf der Widerspruchsannahme: r≥b.

Gruß pwm
8mileproof

8mileproof aktiv_icon

14:49 Uhr, 30.01.2012

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danke. und genau den widerspruchsbeweis check ich nicht, ab der stelle wo zu dem q eine 1 dazu addiert wird.
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hagman

hagman aktiv_icon

17:04 Uhr, 30.01.2012

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Hm, das einizig kritische scheint mir der Schritt "Wähle q maximal mit ..." zu sein. Damit es solch ein Maximum gibt, muss man nämlcih erst zeigen, dass die Menge {q∈ℤ:q⋅b≤a} erstens nicht leer und zweitens nach oben beschränkt ist!

Zur Existenz vielleicht eher so:
Betrachte b∈ℤ mit b≠0. Sei s das Vorzeichen von b, also s=+1 für b>0 und s=-1 für b<0.
Setze Z:={a∈ℤ:∃q∈ℤ,0≤r<|b|:a=q⋅b+r}
Dann gilt:
1) Es ist 0∈Z, denn 0=0⋅b+0
2) Aus n∈Z folgt n+1∈Z: Angenommen n∈Z, etwa n=q⋅b+r. Falls r=|b|-1 wähle q'=q+s,r'=0, sonst wähle q'=q,r'=r+1. Auf jeden Fall gilt dann n+1=q'⋅b+r' (nachrechnen!)
3) Aus n∈Z folgt auch |b|-1-n∈Z: Angenommen n∈Z, etwa n=q⋅b+r. Dann |b|-1-n=q'⋅b+r' mit der Wahl q'=-q,r'=|b|-1-r

Aus 1) und 2) folgt ℕ0⊆Z per Induktion und mit 3) erwischt man die negativen Zahlen.
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