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Dreieck aus Trapez berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, Flächeninhalt, Trapez

TestAccount1245 aktiv_icon

17:13 Uhr, 19.09.2016

Hallo!

Folgende Aufgabe:
Gegeben ist das Trapez ABCD. M ist der Halbierungspunkt der Seite AD.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des farblich markierten Dreiecks BCM.

Skizze im Anhang.

Hab keine Ahnung, wie das gehen sollte bzw. was mir da ein gleichseitiges Dreieck bringen sollte.

Danke schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 19.09.2016

Hallo,
füge doch in die Strecke CB den Mittelpunkt N ein.
Dann zerlege das rote Dreieck mit der Strecke MN.
Nun solltest Du die Höhen und Grundseiten der beiden Teildreiecke unmittelbar
bestimmen können und damit ihre Fläche.
Gruß ermanus

Atlantik aktiv_icon

18:13 Uhr, 19.09.2016

Schau dir mal meine Zeichnung an.

mfG

Atlantik

Bummerang

10:54 Uhr, 20.09.2016

Hallo,

ein etwas theoretischerer Ansatz:

Betrachte zunächst

Δ

DCM und

Δ

DCA. Beide haben die Grundseite

\bar{D C}

und wegen der Wahl von

M

als Mittelpunkt von

\bar{A D}

ist die Höhe von

Δ

DCM halb so groß wie die Höhe

h

von

Δ

DCA. Deshalb gilt:

A_{Δ D C M} = | \bar{D C} | \cdot \frac{1}{2} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot A_{Δ D C A}

Analog erhält man, da

h

auch die Höhe des Trapezes selbst ist:

A_{Δ A B M} = | \bar{A B} | \cdot \frac{1}{2} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot A_{Δ A B C}

Es gilt aber auch:

A_{T r a p e z A B C D} = A_{Δ D C A} + A_{Δ A B C}

A_{T r a p e z A B C D} = \frac{1}{2} \cdot A_{Δ D C A} + \frac{1}{2} \cdot A_{Δ A B C} + \frac{1}{2} \cdot A_{Δ D C A} + \frac{1}{2} \cdot A_{Δ A B C}

A_{T r a p e z A B C D} = A_{Δ D C M} + A_{Δ A B M} + \frac{1}{2} \cdot (A_{Δ D C A} + A_{Δ A B C})

A_{T r a p e z A B C D} = A_{Δ D C M} + A_{Δ A B M} + \frac{1}{2} \cdot A_{T r a p e z A B C D}

A_{T r a p e z A B C D} - A_{Δ D C M} - A_{Δ A B M} = \frac{1}{2} \cdot A_{T r a p e z A B C D} (i)

Man kann das

T r a p e z A B C D

aber auch in die Dreiecke

Δ D C M

und

Δ A B M

und

Δ B C M

zerlegen und man erhält für die Fläche:

A_{T r a p e z A B C D} = A_{Δ D C M} + A_{Δ A B M} + A_{Δ B C M}

A_{Δ B C M} = A_{T r a p e z A B C D} - A_{Δ D C M} - A_{Δ A B M} (i i)

Aus

(i i)

und

(i)

folgt:

A_{Δ B C M} = \frac{1}{2} \cdot A_{T r a p e z A B C D}

A_{Δ B C M} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{| \bar{A B} | + | \bar{C D} |}{2} \cdot h)

Ab hier ist es nur noch einsetzen und rechnen!

TestAccount1245 aktiv_icon

12:03 Uhr, 20.09.2016

Hallo!

Danke schon mal für eure Antworten!

@ermanus Kommentar
Wie komme ich da unmittelbar auf die Grundseiten und Höhen der beiden Teildreiecke?
Da blicke ich nicht durch!

Respon

12:11 Uhr, 20.09.2016

Die Mittellinie

m

eines Trapezes berechnet sich mit

m = \frac{a + c}{2} \Rightarrow m = \frac{11 + 5}{2} = 8

Und die Mittellinie halbiert die Höhe

(7

cm )

ermanus aktiv_icon

12:16 Uhr, 20.09.2016

Die Strecke MN hat die Länge

\frac{∣ A B ∣ + ∣ C D ∣}{2}

(Siehe Bummerangs Berechnung). Sie teilt das rote Dreieck
in ein nach oben zeigendes MNC und ein nach unten zeigendes MBN.
Fasse nun MN als Grundseite sowohl von MNC als auch von MBN auf.
Beide Dreiecke haben die Höhe

\frac{7}{2}

, usw., usw.
Gruß ermanus

TestAccount1245 aktiv_icon

12:17 Uhr, 20.09.2016

Danke euch!
Jetzt hab ich's!

Atlantik aktiv_icon

14:20 Uhr, 20.09.2016

Alternative:

A_{T} = \frac{11 + 5}{2} \cdot 7 = 56 c m^{2}

... ... ... ... ...

A_{A, B, M} = \frac{11 \cdot \frac{7}{2}}{2} = 19,25 c m^{2}

A_{M, C, D} = \frac{5 \cdot \frac{7}{2}}{2} = 8,75 c m^{2}

... ... ... ... ...

A_{D} = 56 c m^{2} - 19,25 c m^{2} - 8,75 c m^{2} = 28 c m^{2}

mfG

Atlantik

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