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Barwertfaktor einer Dynamische Rente

Universität / Fachhochschule

Tags: Algorithmus, Computerprogramm, dynamisch, Folge, Formel, Rente, Rentenbarwertfaktor, Verzinsung, zins, Zinseszins

Isomorph aktiv_icon

10:44 Uhr, 23.12.2022

Hallo

Eine Rente ist die regelmäßige Zahlung eines konstanten Betrags.
Ich musste den Rentenbarwert und Rentenbarwertfaktor berechnen.
Dazu gibt es Formeln: de.wikipedia.org/wiki/Rentenbarwertfaktor

Ich musste diese Werte jedoch für Renten, die prozentuell mit Zinseszins, also exponentiell wachsen ermitteln. Trotz langer Suche im Internet habe ich dazu keine Formel gefunden. Ich habe das Problem mit einem kleinen Computerprogramm so gelöst:

1. Zuerst habe ich die Renten für alle Jahre berechnet und in einem Array gespeichert:
Sie steigen von Jahr zu Jahr um einen konstanten Prozentwert bis zum Pensionsende (statistisches Sterbejahr). Die Rente von Jahr 1 wird um

i

Prozent erhöht. Diese erhöhte Rente wird im nächsten Jahr erneut um

i

Prozent erhöht. Hintergrund ist ein Inflationsausgleich der die Kaufkraft der Rente konstant halten soll.

i

ist

z . B

. mit

2 %

angenommen.

2. Dann habe ich die Pension rückwärts laufen lassen:
Im letzten Pensionsjahr ist der Barwert

= 0,

da die letzte, über die Jahre verzinste Rente ausgeschüttet wurde. Dann wird die Ausschüttung rückgängig gemacht, diese letzte Rente wird also zum Rentenbarwert hinzugezählt. Dann wird die Realverzinsung

r

rückgängig gemacht.

r

ist

z . B

. mit

4 %

angenommen. Es wird also

r

Prozent vom Rentenbarwert abgezogen. Dann wird das vorletzte Jahr in gleicher Weise berechnet. Alle Jahre werden bis zum ersten Pensionsjahr gleich berechnet. Im ersten Pensionsjahr, vor der ersten Rentenzahlung ist nun der Barwert ermittelt. Den Barwertfaktor kann man durch Division durch die erste Rente ermitteln.

Wie sieht die Formel aus, die zum gleichen Ergebnis wie mein Programm kommt? Ich habe keine Idee wie man zu so einer Formel kommen kann.

Die Variablen die in die Formel eingesetzt werden müssen sind:

i . .

. Zinssatz der Rente (Inflation)

r . .

. Zinssatz des Rentenbarwertes (Rentabilität)

y . .

. Pensionslaufzeit (Jahre)

Ich vermute, dass die höhe der ersten Rente zur Ermittlung des Rentenbarwertfaktors unerheblich ist, da sie sich herauskürzen sollte.

R . .

. Höhe der ersten Rente

Die Ergebnisse:

RBF

. .

. Rentenbarwertfaktor
RB

. .

. Rentenbarwert

Ich bin sehr gespannt, ob jemand eine Formel findet und wie man das angeht.

LG
Iso

PS: Ich hatte die letzten Jahrzehnte seit meiner Schulzeit keinen Kontakt mehr zu Mathematik. Ich habe bis auf die grundlegendsten Dinge alles vergessen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

walbus aktiv_icon

11:14 Uhr, 23.12.2022

1. Die Formel lautet:
vorschüssig:

K = r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - d^{n}}{q - d}

r =

Rate,

q =

Zinsfaktor,

d =

Dynamikfaktor

Barwert

= \frac{K}{q^{n}}

Beispiel:

r = 2000, i = 3 % . p . a ., d = 2 % p . a,

Laufzeit

n = 20

Jahre

= 240

Monate,
Verzinsung effektiv/konform/äquivalent

\to q = {1,03}^{\frac{1}{12}}, d = {1,02}^{\frac{1}{12}}

BW(vorschüssig)

= 2000 \cdot q \cdot \frac{q^{240} - d^{240}}{q - d} \cdot \frac{1}{q^{240}}

= 436250,54

bei relativer Verzinsung:

q = 1 + \frac{0,03}{12}, d = 1 + \frac{0,02}{12}

nachschüssig: Das

q

nach

r

weglassen.

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