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Eindeutigkeit der QR-Zerlegung zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, QR-Zerlegung

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19:19 Uhr, 30.05.2018

Aufgabe:
Für zwei orthogonale Matrizen

Q_{1}, Q_{2} \in R^{N x N}

und zwei reguläre obere Dreiecksmatrizen

R_{1}, R_{2} \in R^{N x N}

gelte

Q_{1} R_{1} = Q_{2} R_{2}

. Zeigen Sie, dass eine Diagonalmatrix

D \in R^{N x N}

mit

d_{n n} \in {1, - 1}

existiert, so dass

Q_{2} = Q_{1} D

und

R_{2} = D R_{1}

gilt.

Hintergrund der Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass die QR-Zerlegung A = Q R (Q orthogonale Matrix, R obere Dreiecksmatrix) bis auf die „Spaltenvorzeichen“ von Q (und entspr. R) eindeutig ist.

Beispiel:

A = (\begin{array}{rcl} 2 & 16 & 27 \\ 1 & 2 & - 21 \\ - 2 & 8 & 3 \end{array}) = \frac{1}{2} * (\begin{array}{rcl} 4 & 3 \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ 2 & 0 & - 4 \sqrt{2} \\ - 4 & 3 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 \sqrt{2} & 5 \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 6 \sqrt{2} \end{array})

Mit

D = (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

ergibt sich die weitere mögliche Zerlegung

A = (\begin{array}{rcl} 2 & 16 & 27 \\ 1 & 2 & - 21 \\ - 2 & 8 & 3 \end{array}) = \frac{1}{2} * (\begin{array}{rcl} - 4 & 3 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \\ - 2 & 0 & 4 \sqrt{2} \\ 4 & 3 \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array}) * (\begin{array}{rcl} - 1 & - 2 & - 3 \\ 0 & 4 \sqrt{2} & 5 \sqrt{2} \\ 0 & 0 & - 6 \sqrt{2} \end{array})

Beweis:
Den Beweis aus der Vorlesung füge ich hier bei. Ich verstehe ihn aber nicht. Er nimmt auf folgenden Satz 2.2 aus der Vorlesung Bezug:
a) Die normierten unteren Dreiecksmatrizen

L = (\begin{array}{rcl} 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ * & \dots & 1 \end{array})

bilden eine Gruppe.
b) Die regulären oberen Dreiecksmatrizen

R = (\begin{array}{rcl} * & \dots & * \\ \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & * \end{array})

bilden eine Gruppe.
Daraus kann man ja schließen, dass das Produkt zweier normierter unterer Dreiecksmatrizen wieder eine solche ergibt. Die invertierte normierte untere Dreiecksmatrix ist wieder eine solche. Für die regulären oberen Dreiecksmatrizen gilt das Entsprechende.

Wer kann mir beim Beweis der obigen Aufgabe helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

RomanGa aktiv_icon

09:07 Uhr, 03.06.2018

Hallo zusammen, ich habe den Beweis jetzt kapiert:

Behauptung: Es existiert eine Diagonalmatrix

D = (\begin{array}{rcl} \pm 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{array})

Mit

Q_{2} = Q_{1} D

und

R_{2} = D R_{1}

.

Beweis:

D = Q_{1}^{T} Q_{2}

und

D = R_{2} R_{1}^{- 1}

D^{T} D = Q_{2}^{T} Q_{1} Q_{1}^{T} Q_{2} = I

Also ist D orthogonal.

D = R_{2} R_{1}^{- 1}

Gemäß Satz 2.2 ist das Produkt zweier regulärer oberer Dreiecksmatrizen wieder eine solche. Also ist D eine reguläre obere Dreiecksmatrix.
Daher ist

D^{T}

eine reguläre untere Dreiecksmatrix.
Gemäß Satz 2.2 ist

D^{- 1}

eine reguläre obere Dreiecksmatrix.
Da

D^{T} = D^{- 1}

, kann D nur eine Diagonalmatrix sein. Da D eine orthogonale Matrix ist, sind die Spaltenvektoren auf die Länge 1 normiert:

D = (\begin{array}{rcl} \pm 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{array})

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