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Epsilon-Delta Kriterium - Wahl von Delta

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Funktionen

Stetigkeit

Tags: delta, Epsilon, epsilon delta Kriterium, Funktion, Stetigkeit

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18:52 Uhr, 09.08.2012

Hallo Leute.
Ich habe ein Problem mit dem Epsilon-Delta-Kriterium.
Genauer gesagt, wie ich mein

δ

zu wählen habe.

Sei

f : ℝ \to ℝ

f (x) : x^{2} + 5 x + 4

Ich möchte nun mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriterium die Stetigkeit der Funktion zeigen.

Es soll also für ein belibiges

ε

gelten:

0 < | x - a | < ε \Rightarrow 0 < | f (x) - f (a) | < δ

wobei

a \in ℝ

beliebig

So

. .

. jetzt hab ich das ganze mal eingesetzt:

0 < | (x^{2} + 5 x + 4) - (a^{2} + 5 a + 4) | < δ

Jetzt wollte ich das

δ

in einer Abhängigkeit von

ε

angeben - aber irgendwie komm ich jetzt schon nicht weiter.

Kann mir jemand etwas Hilfe geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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19:03 Uhr, 09.08.2012

Du verwechselst

ε

und

δ

. Ansonsten gilt:

| f (x) - f (a) | = | x^{2} + 5 x + 4 - a^{2} - 5 a - 4 | = | x^{2} - a^{2} + 5 x - 5 a | = | (x + a) (x - a) + 5 (x - a) | = | x - a | \cdot | x + a + 5 |

So an dieser Stelle solltest du dir überlegen wie du

| x + a + 5 |

umformen kannst, um das anschließend nach oben irgendwie durch einen Ausdruck mit

| x - a |

abschätzen zu können.

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20:24 Uhr, 09.08.2012

Danke schon mal soweit!

Ja, das sollte natürlich heißen:

0 < | x - a | < δ \Rightarrow 0 < | f (x) - f (a) | < ε

kann ich nach

| x - a | \cdot | x + a + 5 | < ε

nicht schon direkt sagen:

| x - a | < δ = \frac{ε}{| x + a + 5 |}

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20:27 Uhr, 09.08.2012

Von

x

darf dein

δ

nicht abhängen. Du solltest zunächstmal

| f (x) - f (a) |

weiter vereinfachen/abschätzen. Dazu bietet sich die Umformung

| x + a + 5 | = | x - a + 2 a + 5 |

mit anschließender Anwendung der Dreiecksungleichung an. Versuch es mal.
Achja und woher hast du eigentlich "

0 < | x - a | < δ \Rightarrow 0 < | f (x) - f (a) | < ε

"? Damit wären ja konstante Funktionen zum Beispiel nicht stetig. Bei mir lautet das einfach

| x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - f (a) | < ε

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14:39 Uhr, 10.08.2012

Oh - ich habe aus

δ > 0

geschlossen, dass

0 < | x - a | < δ

sei

. .

.
es muss aber dann wohl

0 \leq | x - a | < δ

sein, oder?

ich habe jetzt

| f (x) - f (a) | = | x - a | \cdot | x + a + 5 | = | x - a | \cdot | x - a + 2 a + 5 | \leq | x - a | \cdot (| x - a | + | 2 a + 5 |)

Hier weiß ich jetzt nicht weiter - hilft mir die Umformung so überhaupt was?

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15:10 Uhr, 10.08.2012

Du hast das falsch verstanden. Es geht ja um alle

x \in ℝ

mit

| x - a | < δ

. Also alle

x

aus dem Intervall

(a - δ, a + δ)

.
Und bei deiner Umformung hast (Edit: hattest) du vergessen Klammern zu setzen. Es muss so aussehen:

| f (x) - f (a) | = | x - a | \cdot | x - a + 2 a + 5 | \leq | x - a | \cdot (| x - a | + | 2 a + 5 |) = {| x - a |}^{2} + | x - a | \cdot | 2 a + 5 |

An dieser Stelle gibt es einen Trick. Man kann sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf

δ \leq 1

beschränken. Dies kann man gewährleisten, indem

δ = min {1,

}

mit einem noch näher zu bestimmendem ? gewählt wird. Aber was bringt uns das überhaupt? - Nun es gilt dann für alle

x \in ℝ

mit

| x - a | < δ \leq 1

dass

{| x - a |}^{2} \leq | x - a |

. Wir können also den Ausdruck

{| x - a |}^{2}

nach oben durch

| x - a |

abschätzen, wenn wir uns auf

δ \leq 1

beschränken.
Damit kriegen wir weiter

| f (x) - f (a) | = {| x - a |}^{2} + | x - a | \cdot | 2 a + 5 | \leq | x - a | + | x - a | \cdot | 2 a + 5 | = | x - a | \cdot (1 + | 2 a + 5 |)

Damit sehen wir, dass letztlich die Wahl

δ = min {1, \frac{ε}{1 + | 2 a + 5 |}}

sinnvoll ist.
So damit wären die Vorüberlegungen fertig. Nun kommt erst der eigentliche Beweis. Deine Aufgabe ist es nun diesen ordentlich niederzuschreiben. :-)

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16:02 Uhr, 10.08.2012

Alles klar - danke noch mal für die tolle Hilfe!
Ich versuche es mal:

Sei sowohl

0 < ε

als auch

a \in ℝ

beliebig und

0 < δ = min (1, \frac{ε}{1 + | 2 a + 5 |}) \leq 1

.

So gilt für jedes

x \in ℝ

mit

| x - a | < δ :

{| x - a |}^{2} = | x - a | \cdot | x - a | \leq | x - a |

Weiter folgt jetzt:

| f (x) - f (a) | = | x^{2} - a^{2} + 5 x - 5 a | = | (x + a) \cdot (x - a) + 5 (x - a) | = | x - a | \cdot | x + a + 5 |

= | x - a | \cdot | x - a + 2 a + 5 | \leq | x - a | \cdot (| x - a | + | 2 a + 5 |) = {| x - a |}^{2} + | x - a | \cdot | 2 a + 5 |

\leq | x - a | + | x - a | \cdot | 2 a + 5 | = | x - a | \cdot (1 + | 2 a + 5 |) < \frac{ε}{1 + | 2 a + 5 |} \cdot (1 + | 2 a + 5 |) = ε

Laut Definition folgt somit die Stetigkeit im Punkt

a

.
Da a beliebig war, ist

f

stetig.

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16:06 Uhr, 10.08.2012

Sieht gut aus. :-)

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18:58 Uhr, 10.08.2012

Super - danke vielmals :-)

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20:03 Uhr, 10.08.2012

Gern geschehen.

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