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Erklärung Basiswechsel
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: basis, basiswechsel, Matrizenrechnung
 
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Hi zusammen, Ich tu mir im Moment verdammt schwer das letzte Thema vor der übermorgigen Klausur zu verstehen. Es geht um den Basiswechsel. Wir verwenden hierfür den Basiswechselsatz, den ich angehängt habe - ich verstehe soweit, dass es zwei Variablen gibt, die dementsprechend als Übergangsmatrix mit der Originalmatrix multipliziert wird, je nach Basiswechsel. Von b'->b nennen wir es nun mal x1 und bei a->a' nennen wir es x2. Was ich nun jedoch überhaupt nicht verstehe, ist wie sich diese Übergangsmatrizen zusammen setzen. Mal wurden diese nämlich in unserem Unterricht als Inverse genommen, mal dann wieder nicht. Ich habe nun des Weiteren ein Beispiel angehängt. Wieso wird hier x2 zur Inverse genommen, nicht aber x1? von was hängt das ab? Ich wäre sehr sehr verbunden, wenn mir jemand hier bei der Erklärung und Verständnis helfen würde!   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ist der Basiswechsel durch Multiplikation mit der Matrix zu erreichen, so ist der umgekehrte Basiswechsel natürlich durch Multiplikation mit der Inversen zu erreichen! Warum? ist die Gleichung, die den Übergang eines Koordinatenvektors bzgl. zu einem Koordinatenvektor bzgl symbolisiere. Multipliziere mit und erhalte die zu erwartende Gleichung wie vorhergesagt. Und nun zu deiner Frage: > Wieso wird hier x2 zur Inverse genommen, nicht aber x1? von was hängt das ab? Das hängt davon ab, in welche Richtung ich den Basiswechsel vornehmen will. Will ich von nach wechseln, so nehme ich . Umgekehrt ihre Inverse. Schau dir die Mitschrift/das Skript doch nochmal unter diesem Aspekt an. Sollten noch Fragen bleiben, melde dich noch mal. Mfg Michael |
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Hi. Michael, Erstmal danke für die ausführliche Erklärung. Eine Frage wäre noch da. Wechselt man in meinem hochgeladenen Beispiel nicht von B-> K also b -> b' und nimmt trotzdem die Inverse? Oder versteh ich das falsch? |
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Hallo, soo, jetzt wird es bisschen spezieller! Eine der beiden Basen soll die Standardbasis sein (wird hier genannt, wie der Grundkörper, was aus meiner Sicht wenig hilfreich ist). Das interessante bei einem Basiswechsel von ( Standardbasis) ist, dass die Matrix als Spalten die Vektoren der Basis hat. (Am besten probierst du das an einem Beispiel mal aus. Dann siehst du, dass ich recht habe.) Woran liegt das? Nun, wenn du den Koordinatenvektor bzgl. Basis per Matrixmultiplikation auf den Koordinaten abbilden willst, so muss die erste Spalte dieser Matrix eben genau dieser Vektor sein. (Andere Spalten analog!) Da nun aber die Matrix für den Basiswechsel so einfach ist, gibt man diesen gern an und verwendet dann für den umgekehrten Wechsel wie schon im letzten posting erwähnt die Inverse dieser Matrix. Auf jeden Fall steht die Aussage meines letzten postings nicht im Widerspruch zu deiner Frage: > Eine Frage wäre noch da. Wechselt man in meinem hochgeladenen Beispiel nicht von B-> K also b -> b' und > nimmt trotzdem die Inverse? Denn ich wollte nur mitteilen: Kennst du die Matrix für den Basiswechsel , so ist die Matrix für den umgekehrten Basiswechsel gegeben durch . Ist eine weitere Basis gegeben und vielleicht die Matrix für den Basiswechsel bekannt, so ist (wieder) die Matrix für den umgekehrten Basiswechsel gegeben durch . Es kommt also darauf an, die Matrix welchen Wechsels man schon kennt, damit man die Matrix für den Rückwechsel als Inverse angeben kann. Mfg Michael |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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