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Erklärung gesucht: Transitivität, Symmetrie, ...

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Abbildung, Antisymmetrie, Definition, Reflexivität, Relationen, Symmetrie, Transitivität

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16:40 Uhr, 18.01.2009

Hallo Zusammen,

ich suche Eine Erklärung für die Begriffe

- Reflexiv
- Symmetrisch
- Anti-Symmetrisch
- Transitiv

für das Thema Reflexionen und Abbildungen.

Leider kann ich die Erklärungen, welche ich unter Wikipedia und Google allgemein finde, nicht verstehen...
Kennt hier vielleicht jemand eine Beschreibung, welche sehr einfach formuliert ist? Eventuell mit Beispielen? Also wann ist

z

. B. eine Relation Reflexiv?

Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Dravo5 aktiv_icon

16:55 Uhr, 18.01.2009

Hi

also ich geh die Begriffe mal durch^^

Reflexivität
xRx

also hier muss die Relation zwischen ein und dem selben Element funktionieren
mal so als Bsp, die Relation

\leq

5 \leq 5,

oder

\sqrt{2} \leq \sqrt{2},

also halt

x \leq x

ein Gegenbeispiel wäre einfach mal die Relation

<

x < x

ist eine falschwe Aussage, diese relation ist also nicht reflexiv

Symmetrie:
xRy

\Rightarrow

xRy

also wenn das eine Element mit einem anderen in Relation steht, dannn steht auch das andere Element mit dem Einen in Relation

da nehm ich mal ein nicht-mathematisches Bsp^^

xRy

\Leftrightarrow x

ist mit

y

verheiratet

ich glaube, das erkennst du dann, also wenn

x

mit

y

verheiratet ist, dann ist auch

y

mit

x

verheiratet

Gegenbeispiel:
xRy

\Leftrightarrow x

kennt

y

also ich kenne Angela Merkel, aber sie kennt mich deswegen noch lange nicht^^

Transitivität:

xRy und yRz

\Rightarrow

xRz

hier mal wieder das Bsp mit der

\leq -

Relation

2 \leq 4

und

4 \leq 5 \Rightarrow 2 \leq 5

hm, das is nich sooo leicht, ein Gegenbeispiel zu finden, aber ich hab eins

xRy

\Leftrightarrow 2 \cdot x = y

2 \cdot x = y

und

2 \cdot y = z

daraus folgt aber nicht, dass

2 x = z

Antisymmetrie:
xRy und yRx

\Rightarrow y = x

mal wieder die

\leq

-Relation^^

x \leq y

und

y \leq x \Rightarrow y = x

Gegenbeispiel is mal wieder das verheiratet sein....... mals dir mal aus, wenn

x

mit

y

verheiratet ist und somit auch

y

mit

x

*gg*

ich hoffe, das reicht dir so

lg Dravo5

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17:04 Uhr, 18.01.2009

Das ging aber schnell!!

Vielen Dank!!!

Also wäre zum Beispiel die Relation

{(1,1), (2,2), (3,3)}

reflexiv, weil

x = x,

aber nicht transitiv, oder?

Dravo5 aktiv_icon

17:05 Uhr, 18.01.2009

Das ist nur eine Menge, die Relation musst du noch definieren

MatherX aktiv_icon

17:10 Uhr, 18.01.2009

Hmm, also die Aufgabe die ich hier habe lautet:

"Sind die folgenden Relationen jeweils transitiv? Begründen Sie bitte Ihre Antwort. Im Falle, dass die jeweiligen Relation nicht-transitiv ist: Geben Sie die Transitive Hülle der Relation an. "

(a)

{(1,1), (2,2), (3,3)}

(b)

{(1,2), (2,3), (3,4), (2,4), (1,5)}

Also müssten's doch Relationen sein, oder...?

Dravo5 aktiv_icon

17:12 Uhr, 18.01.2009

Ähm, ist das sowas wie Mathematische Grundlagen der Informatik?

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17:13 Uhr, 18.01.2009

Jap...

sorry, wusste nicht das dieses Thema eventuell nochmal woanders vorkommen kann :-)

Dravo5 aktiv_icon

17:18 Uhr, 18.01.2009

also Relationen kommen auch in der "richtigen Mathematik" vor
Mathematische Grundlagen der Informatik darf ich

z . B

. auch amchen........ ich sträube mich davor, weil vieles genau anders definiert is, also "in der normalen Mathematik"^^

also ich glaube, xRy

\Leftrightarrow (x, y) \in {...}

also übersetzt,

x

steht in Relation zu

y,

wenn

(x, y)

in der Menge vorkommt?

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17:33 Uhr, 18.01.2009

Hm, also bei uns sieht die Defintion von Relationen so aus:

Eine (binäre) Relation zwischen zwei Mengen A und

B

ist eine Teilmenge

R \subseteq A \times B

. Oft werden wir Relationen

R

betrachten, bei denen die Mengen A und

B

gleich sind. Man spricht dann auch von einer Relation auf der Menge A.

Eine Relation

R

auf der Menge A heißt

reflexiv, wenn für alle a el A gilt:

(a, a)

R,

symmetrisch, wenn für alle

a, b

el A gilt:

(a, b)

R \to (b, a)

R

antisymmetrisch, wenn für alle

a, b

el A gilt.

(a, b)

R ⋀ (b, a)

R \to a = b,

transitiv, wenn für alle

a, b, c

el A gilt:

(a, b)

R ⋀ (b, c)

R \to (a, c)

el R.

Eigentlich bin ich ja mehr sprachlich begabt, aber hier muss ich passen... :-D)

Dravo5 aktiv_icon

17:44 Uhr, 18.01.2009

Ah ja, also so, wie ichs formuliert hab

du musst jetzt einfach alles durchsuchen, wo

(a, b)

und

(b, c)

vorhanden sind, ist dann auch noch

(a, c)

vorhanden (und zwar immer), dann ist

R

transitiv, sonst nicht

fügst du nun alles Fehglende ein, dann müsste das die transitive Hülle sein

so, ich bin dann erst mal weg, vielleicht kann ich so in

2 h

weiterhelfen, cya

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17:44 Uhr, 18.01.2009

Sehr nett, nochmal vielen Dank!!!

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08:27 Uhr, 19.01.2009

Hallo, ich bin's nochmal - ist schon jemand wach?? :-)

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe wäre die transitive Hülle von

(a)

{(1,1), (2,2), (3,3)}

dann

{(1,2), (2,3), (3,1)}

und von

(b)

{(1,2), (2,3), (3,4), (2,4), (1,5)}

dann

{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,1)}

Ist das richtig? :-)

Dravo5 aktiv_icon

09:08 Uhr, 19.01.2009

Hoi hoi

Also ich weiß jetzt nicht genau, was die transitive Hülle ist, aber ich glaube, dies ist die Schnittmenge aller transitiven Relationen, die die gegebene Relation enthält

bei

a)

schätze ich, dass die Transitive Hülle so aussieht:

{(1,1); (2,2); (3,3)}

also

{(1,1); (2,2); (3,3)}

und das wars auch schon, denn die 1 steht nur mit sich selbst in Relation
also in meiner Schreibweise gibts es nur

1 R 1

und nicht sowas wie

1 R 2,

sodass was neues folgen könnte

und bei

b)

(1,2)

und

(2,3) \Rightarrow (1,3)

so musst du alle durch gehen und die Relation auffüllen, aber schreib doch bitte deine Def noch hin, denn

100

pro sicher bin ich nicht^^

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17:19 Uhr, 19.01.2009

Hört sich gut an :-)

Aber ich werde morgen meinen Prof nochmal fragen - trotzdem nochmal vielen Dank!!!

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