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Explizite Darstellung logistischen Wachstums

Schüler Gymnasium,

Tags: explizite Darstellung, Gleichungen, logistisches Wachstum, Wachstum

JanLukas aktiv_icon

19:01 Uhr, 08.02.2015

Hey,
Ich gehe in die 10te Klasse eines Gymnasiums. Im Moment behandeln wir das Thema logistisches Wachstum. Die explizite Darstellung dieses Wachstums werden wir in der 10ten Klasse aber nicht behandeln meint unser Mathelehrer, da diese zu schwierig sei. Ich habe die Formel interessehalber herausgesucht und versucht sie zu lösen.
Die Fragestellung lautet: Auf einer Insel werden 5 Hasen ausgesetzt. Nach 1 Jahr sichtet man

12

Hasen. Nun soll man unter der Annahme logistischen Wachstums bestimmen wie viele Hasen nach 6 Jahren auf der Insel sind!
Als Formel für die explizite Darstellung hab ich gefunden:

B (t) =

(B(0)*S)/(B(0)+(S-B(0))*e´(-S*K*T))
Dann habe ich

k

ausgerechnet wie wir es gelernt haben:

12 = 5 + k \cdot 5 \cdot (500 - 5)

12 = 5 + k \cdot 5 \cdot 495

7 = k \cdot 2475

0,0028 = k

So! Setze ich nun alles in die Formel ein, komme ich aber auf das falsche Ergebnis:
B(6)=(5*500)/(5+(500-5)*e´(-500*6*0,0028))

B (6) = 489,11

Was mache ich falsch? Vielleicht übersteigt das Thema ja wirklich die Kenntnisse die ein Schüler in der 10ten in Mathe hat. Würde mich über eine Antwort freuen! Hat ewig gedauert das zu tippen...
Viele Grüße
Jan

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

19:12 Uhr, 08.02.2015

Hier habe ich die Aufgabe mit Lösungen gefunden:

http//www.poenitz-net.de/Mathematik/4.Funktionen/4.7.A.Logistisches%20Wachstum.pdf

mfG

Atlantik

JanLukas aktiv_icon

19:30 Uhr, 08.02.2015

Vielen Dank! Aber die Sättigungdgrenze ist anders und der Lösungsweg wird nicht beschrieben

\frac{:}{}

Kennst du dich mit diesem Thema aus und kannst mir zeigen was ich falsch gemacht habe?

Atlantik aktiv_icon

19:35 Uhr, 08.02.2015

Leider kenne ich mich bei dem Thema gar nicht aus.

mfG

Atlantik

Ma-Ma aktiv_icon

01:08 Uhr, 09.02.2015

Hallo JanLukas,
hast Du noch Interesse an der Aufgabe ?

Du benötigst zur Lösung die "EULERSCHE ZAHL"

e

und den

ln

. (Wird in Klasse

11

bzw.

12

eingeführt.)
Ist aber nicht schwer.

e

ist ähnlich wie

π

eine irrationale Zahl.

ln

ist der Logarithmus zur Basis

e

.

Bisher kennst Du nur den lg

(log),

also den Logarithmus zur Basis

10

{log}_{10} u =

u

Schaue mal in Deine Formelsammlung, da findest Du

e = 2,71 ...

.
und

{log}_{e} u = ln u

e

und den

ln

findest Du auf Deinem TR.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

So jetzt zur Aufgabe: Logistisches Wachstum
http//de.wikipedia.org/wiki/Wachstum_%28Mathematik%29

Du benötigst unbedingt noch die Sättigungsgrenze, also wieviel Hasen aufgrund des vorhandenen Futters überhaupt dort leben können.
In der von "Atlantik" verlinkten Aufgabe wird dort

100

angegeben, also

S = 100

.

Rechnen mit mindestens 4 Nachkommastellen ist gut.

Formel von Tante Wiki:

B (t) = \frac{B (0) \cdot S}{(B (0) + (S - B (0)) \cdot e^{- k \cdot S \cdot t})}

Wir benötigen

k

und dröseln das mal auf

. .

B (0) = 5 ... ...

. Bestand zum Zeitpunkt

t = 0 . .

. also im Jahr

1705

S = 100 ... . .

. Sättigungsgrenze

t = 1

B (1) = 12

Bis dahin klar?

- - - - - - - - - - -

Einsetzen in die Formel:

12 = \frac{5 \cdot 100}{5 + (100 - 5) \cdot e^{- k \cdot 100 \cdot 1}}

Wenn Du die Formel umgestellt hast (ist easy, Rechenregeln kennst Du),
so sollte dann dort in etwa stehen

e^{- 100 \cdot k} = 0,386

- - - - - - - -

Wenn Du das hinbekommen hast, sind es nur noch zwei Schritte.
Auf beiden Seiten den

ln

anwenden und die Logarithmengesetze beachten.
Können wir gerne gemeinsam machen.
Wichtig ist jedoch, dass Du die oben genannten Schritte verstanden und nachvollzogen hast.

LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag: Man kann die Aufgabe auch mit der Formel zum "Beschränkten Wachstum" berechnen.
Es ergeben sich dadurch kleine Abweichungen am Endergebnis.

JanLukas aktiv_icon

18:41 Uhr, 09.02.2015

Super! Vielen Dank für die ausführliche Antwort!!
Unser Mathe Lehrer hat (ich hab nochmal nachgesehen) als Sättigungsgrenze

500

angegeben. Dann habe ich versucht es auszurechnen wie du beschrieben hast:
Also die Formel lautet ja

B (t) =

(B(0)*S)/(B(0)+(S-B(0))*e´(-S*K*T))
Also:
12=(5*500)/(5+(500-5)*e´-500*k
12=2500/(500*e´(-500*k))
Und weiter? Das klappt noch nicht so ganz. Wie kommst du auf

0,386

?
Vielen Dank!
Jan

Ma-Ma aktiv_icon

22:02 Uhr, 09.02.2015

Beachte im Nenner: Punkt vor Strichrechnung !
Versuchs nochmal

. .

- - - - - - - -

Bei

S = 500

solltest Du erhalten:

e^{- 500 k} = 0,4108

Wie gesagt, zwei weitere Schritte sind dann noch notwendig

. .

JanLukas aktiv_icon

22:13 Uhr, 09.02.2015

Danke! KAnnst du mir noch zeigen wie diese funktionieren?

Ma-Ma aktiv_icon

22:22 Uhr, 09.02.2015

Ich zeig´s Dir am Beispiel mit

S = 100 :

e^{- 100 \cdot k} = 0,386

Auf beiden Seiten

ln

ln (e^{- 100 \cdot k}) = ln 0,386

Jetzt das Logarithmusgesetz

{log}_{a} u^{r} = r \cdot {log}_{a} u

anwenden (siehe FS)

(- 100 \cdot k) \cdot ln e = ln 0,386

- - - - - - -

Formelsammlung:

{log}_{a} a = 1

und

ln e = 1

- - - - - - -

- 100 \cdot k = ln 0,386

k = \frac{ln 0,386}{- 100}

TR benutzen

. .

k = 0,01

Besser natürlich, mit mindestens 4 Nachkommastellen rechnen.

Versuche mal, die letzten Schritte nachzuvollziehen.

JanLukas aktiv_icon

22:27 Uhr, 09.02.2015

Du hast bei

s = 500

e−500k=0,4108
Bist du sicher das

e - 500 k

nicht gleich

0,4385

sind?

JanLukas aktiv_icon

22:29 Uhr, 09.02.2015

Also vielen Dank!! Den restlichen Teil habe ich verstanden!
Lg
Jan

Ma-Ma aktiv_icon

22:31 Uhr, 09.02.2015

Dein Post von

18 : 41 :

12 = \frac{5 \cdot 500}{5 + (500 - 5) \cdot e^{- 500 \cdot k}} ... ... .

. richtig

Die nächste Zeile ist FALSCH !
Ich wiederhole mich: Punkt vor Strichrechnung beachten!

12 = \frac{2500}{(500 \cdot e^{- 500 \cdot k})} ... ... .

. falsch

JanLukas aktiv_icon

22:48 Uhr, 09.02.2015

Also ich habe jetzt das Ergebnis von

11,99752 . .

. Hasen für den ersten Zeitschritt! Also ist nun alles richtig!
Vielen, vielen Dank für die Hilfe!! :-)

Ma-Ma aktiv_icon

22:49 Uhr, 09.02.2015

Nun noch

B (6) = . .

. ?

JanLukas aktiv_icon

22:50 Uhr, 09.02.2015

Werde ich noch schnell ausrechnen...

Ma-Ma aktiv_icon

23:07 Uhr, 09.02.2015

Zum Einlesen in dieses Thema empfehle ich Dir:
http//de.wikipedia.org/wiki/Wachstum_%28Mathematik%29
http//de.wikipedia.org/wiki/Populationsdynamik

Zusätzlich könntest Du noch ausrechnen, WANN zum ersten Mal die Sättigungsgrenze, also

500

Tiere, erreicht sind

. .

.
Der 2. Link hilft diesbezüglich auch beim Verstehen.

LG Ma-Ma

JanLukas aktiv_icon

23:36 Uhr, 09.02.2015

Hey ich bräuchte noch ein letztes Mal deine Hilfe!
Ich habe nun

k

richtig ausgerechnet. Denn setze ich

k = 0,001779

in die Gleichung und für

t = 1

bekomme ich ein Ergebnis von

11,99 . .

. und das stimmt ja! Denn beim ersten Zeitschritt sind es

12

Hasen. Setze ich jetzt aber für

t = 6

ein, kommt ein Ergebnis von

338, . .

. Stimmt das? Denn rechnet man rekursiv bekommt man ein Ergebnis von

460

Lg
JAn

Ma-Ma aktiv_icon

23:55 Uhr, 09.02.2015

Ich habe mit

k = 0,0018

gerechnet und komme auf

345

Tiere.
(Werde dies nochmal mit

k = 0,001779

nachrechnen. Habe raus:

B (6) = 338,7)

Ich weiß nicht, wie und was Du rekursiv gerechnet hast

...

Ma-Ma aktiv_icon

00:34 Uhr, 10.02.2015

Für die rekursive Rechnung hast Du wahrscheinlich folgende Formel genutzt:

B_{t + 1} = B_{t} + k \cdot B_{t} \cdot (S - B_{t})

siehe auch hier: de.wikipedia.org/wiki/Wachstum_%28Mathematik%29

Dazu steht:
"weitere rekursive Darstellung unter Nutzung des expliziten Eulerverfahrens

...

.
Diese Darstellung gibt nicht die exakte Lösung der logistischen Differentialgleichung wieder, da hier nur eine Näherung für die Ableitung der Wachstumsfunktion benutzt wird..."

Fazit: Du erhälst also nur eine Näherungslösung. Und ja, ich habe hier auch

B (6) = 460

- - - - - - - -

Auf dieser Seite findest Du jedoch auch eine genauere Formel für die rekursive Darstellung, allerdings wieder mit der Eulerschen Zahl

e

B_{t + 1} = \frac{B_{t} \cdot S}{B_{t} + (S - B_{t}) \cdot e^{- k \cdot S}}

LG Ma-Ma

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