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Extrema vs. Sattel-/Wendestellen mehrdimensional
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Tags: Differentiation, Funktion
 
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Hallo zusammen, in der Vorlesung tasten wir uns gerade an die mehrdimensionale Analysis heran und es geht um das Thema "Extrema und Sattelstellen". Aus der eindimensionalen Analysis habe ich mir bereits einen allumfassenden Algorithmus zusammengeschustert, mit welchem zwingend die Lösung nach der Frage "Normalstelle" vs. "Extremum" vs. "Sattel-" vs. "Wendestelle" beantwortet werden kann, und zwar durch n-maliges Ableiten n+1-mal differenzierbarer Funktionen (denn in der Vorlesung wird meist nicht der Fall besprochen, in dem beispielsweise die ersten 5 Ableitungen sind): 1. Fall: so gilt bei Betrachtung der ersten nachfolgenden Ableitung mit der Bedingung: )≠0: gerader Exponent → Extremstelle ungerader Exponent → Sattelstelle 2. Fall: ≠0 ∧ so gilt bei Betrachtung der ersten nachfolgenden Ableitung mit der Bedingung: ≠0: gerader Exponent → Normalstelle ungerader Exponent → Wendestelle So. In der mehrdimensionalen Analysis ist es wieder dieselbe Geschichte. Nun wird mit der Hesse-Matrix argumentiert, jedoch wurde hier weder besprochen, wie man zwischen Sattel- und Wendestelle unterscheiden kann (von Wendestellen ist gar nicht mehr die Rede), noch wird der Fall betrachtet, wenn die ersten Ableitungen sind. Ist dafür die Hesse-Matrix nicht zu ungenau? Könnte ich theoretisch die Bedingungen des . . Schemas auch auf die mehrdimensionale Analysis anwenden, wobei dann eben statt einer Ableitungen die Bedingungen für alle partiellen Ableitungen gelten müssen? Vielen Dank bereits vorab für eure Rückmeldungen. Beste Grüsse Binary91 Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wie willst du denn eine Wendestelle mehrdimensional definieren? Was soll dabei wenden? |
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Naja, die Steigung ändert in allen partiellen Ableitungen das Vorzeichen, ist aber nicht . Also analog zur eindimensionalen Definition, oder? Nicht möglich? |
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"Naja, die Steigung ändert in allen partiellen Ableitungen das Vorzeichen, ist aber nicht =0. Also analog zur eindimensionalen Definition, oder? Nicht möglich?" Möglich, nur sagt das wenig aus. Ich kann mir keinen praktischen Fall vorstellen. Im übrigen, kann man auch hier höhere Ableitungen untersuchen, wenn die Hesse-Matrix Nullmatrix ist, aber das macht man halt extrem selten, weil der Aufwand sich nicht lohnt. |
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Ok, aber dann liege ich prinzipiell richtig wenn ich das richtig interpretiere. Könnte ich dann meinen Ansatz exakt so wie er ist auch auf die mehrdimensionale Analysis anwenden? Egal, ob es viel aufwändiger ist, es geht mir nur ums Verständnis.. |
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Kennst du auch das Kriterium mit Hauptminoren? http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node136.html |
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Ja genau, das wurde ebenfalls im Zuge der Erläuterung der Hesse-Matrix angesprochen. Aber eben wie auf der Website, die Du eben angegeben hast, gibt es den letzten Fall "Andernfalls ist keine Aussage möglich, . kann ein lokales Extremum sein, muß aber nicht." Eben hierfür wollte ich wissen, ob ich mein Schema theoretisch nutzen könnte, um so oft und so auwändig alle part. Ableitungen abzuleiten, bis irgendwann die Kriterien erfüllt oder ich erschöpft bin, wobei aber rein theoretisch irgendwann bestimmbar wäre, ob es sich um eine besondere Stelle handelt oder eben nicht. |
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"Könnte ich dann meinen Ansatz exakt so wie er ist auch auf die mehrdimensionale Analysis anwenden?" Nein, exakt nicht, denn du hast dann nicht nur eine Ableitung, sondern immer mehr partielle Ableitungen. Wenn z.B. die Hesse-Matrix eine Nullmatrix ist, aber eine einzige partielle dritte Ableitung ungleich 0 ist, dann ist es ein Sattelpunkt. Falls mehrere partielle dritte Ableitungen ungleich 0 sind, kann es auch eine Extremstelle sein. Das Ganze ist halt deutlich komplizierter als im eindimensionalen Fall. Für die komplette Beschreibung braucht man eine Taylor-Entwicklung um den Punkt, bis zum entsprechenden Grad. Die kann analysiert werden, um eine eindeutige Aussage zu machen. Diese Analyse kann aber nicht standardisiert werden und muss also "per Fuß" gemacht werden. Beispiel: hat in ein Minimum, weil . Dagegen hat einen Sattelpunkt, weil . |
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Aha, danke. Das wollte ich wissen. Die Taylor-Näherung habe ich mir ebenfalls schon oberflächlich durchgelesen, das scheint sehr komplex und aufwändig zu sein. Schade, dass es dafür keine Verallgemeinerung gibt, dann werde ich bei der Hesse-Matrix bleiben und Taylor im Hinterkopf als individuelle Notlösung behalten. Beste Grüsse |
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