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Extremwertaufgabe: Rechteck unter einer Parabel

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: gesucht wird b, h

 
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busywithschool

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18:53 Uhr, 23.02.2010

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Dem Abschnitt der Parabel f(x)=9-x2, der oberhalb der x-achse liegt,soll ein maximal großes rechteck einbeschrieben werden.
bestimme die breite und die höhe des rechtecks.

hallo, kann mir jemand eventuell einen ratschlag geben,
da ich absolut nicht weiss, wie ich diese aufgabe angehen soll.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
mschaetzer

mschaetzer aktiv_icon

19:01 Uhr, 23.02.2010

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Mach dir mal eine Skizze.
Ich habe die Seitenlängen mit b(parallel zur x-Achse) und a(parallel zur y-Achse) bezeichnet.
So die Hauptfunktion ist ja:
A=a⋅b

Jetzt musst du dir nur noch überlegen wie die Nebenbedingung aussieht.
Denk mal nach wenn du z.B.: für x=±(b2) einsetzt welchen Wert dann f(x) annehmen muss.
busywithschool

busywithschool aktiv_icon

19:15 Uhr, 23.02.2010

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Vielen Dank.

Ok, ich fasse ein mal zusammen.

Die Hauptbedingung ist A=a⋅b

Ich würde als nächstes 2 Nebenbedingungen aufstellen, indem ich schaue
2 seitenlängen als a und b bezeichnen würde.

1. Nebenbedingung= a=x
2. Nebenbedingung= b=f(x)

Dann würde ich die 2 Nebenbedingungen in die Hauptbedingung einsetzen.

A=a⋅b

A=x⋅(9-x2)

Wenn ich nun die Hauptbedingung ausrechen, erhalte ich

A=-x3+9x als Zielfunktion


Aber ich weiss einfach nicht, wie ich von der Zielfunktion
die einzelnen Längen ausrechne.
Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

21:42 Uhr, 23.02.2010

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von der Zielfunktion A(x) musst du das Maximum bestimmen:
erste Ableitung A'(x)=0, daraus erhält man dann x, das der Breite entspricht
a=x
b=f(x)
somit hat man Breite und Höhe des Rechtecks

ist auch noch der Flächeninhalt gesucht, dann rechnet man den mit A(x) aus
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mschaetzer

mschaetzer aktiv_icon

00:28 Uhr, 24.02.2010

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du musst aber aufpassen, so wie du es angesetzt hast stimmt es nicht ganz.
denn wenn du sagst das a=x so ist das nur der halbe Flächeninhalt, da du javon der y-Achse ausgehst. so wäre der richtige Flächeninhalt A=2ab
Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

11:33 Uhr, 24.02.2010

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stimmt



das habe ich gestern gar nicht bemerkt, habe die Zielfunktion nicht nachgerechnet, sondern bin davon ausgegangen, dass die soweit richtig ist
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