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Extremwerte, zwei Variablen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Extremwert, Funktion, zwei variablen
 
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Nabend zusammen, ich möchte die Extremwerte von (x²+y²) berechnen. wenn ich mich recht erinnere muss man dafür erstmal partiell ableiten: x²-y²) diese beiden Ableitungen gleich null setzen und auflösen. Aber irgendwie will es nicht gelingen. x²-y²) habe ich aufgelöst und nach umgestellt zu y² = 2x-x² und wollte das nun in die Ableitung von einsetzen zu: e^-x(4x-2x²) aber irgendwie scheint es falsch zu sein. Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt? LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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halloechen. versuch's doch mal so: wann wird die partielle ableitung nach gleich null? da bekommst du einen wert heraus. diesen setzt du in die partielle ableitung nach ein und schaust, fuer welche diese null wird (zwei x-werte). so erhaelst du zwei extremstellen. bunter gruß. |
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huhu, also die Ableitung ist doch dort gleich Null, wo der Extremwert liegt (wenn ich mir das jetzt richtig gemerkt habe). ;-) wenn ich nun also die Ableitung nach nehme: da habe ich ja nun ein Produkut das gleich null ist. Verstehe nicht wie ich es nach umstellen könnte. |
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Hallo, Du kannst nach umstellen, indem Du durch dividierst. Oder Du beachtest: Ein Produkt wird wenn (mindestens) ein Faktor 0 wird. Gruß pwm |
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okay, also ist dann (das kam mir nur ein wenig seltsam vor) ;-) also setze ich das in die Ableitung von ein. Daraus folgt dann 2x-x²) jetzt bin ich aber echt verwirrt, denn hier habe ich ja auch wieder ein Produkt das null wird? Ich kapier wohl irgendwie nicht was ihr meint. |
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ja, genau. die frage ist nun, fuer welche gilt: . dies ist genau dann der fall, wenn gilt. da bekommst du zwei loesungen raus. |
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achso, klar :-) . kann ja nicht null werden also muss es ja der Ausdruck in der Klammer sein. Gut, mit der pq-Formel erhalte ich dann die beiden x-Werte 2 und 0. Nur wo setze ich die denn jetzt bloß ein? |
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ach moment, dass müsste ja schon ein Extremwert sein. Oder? |
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du hast jetzt die stellen und erhalten. der Gradient an diesen stellen ist gleich null: . also sind es stationaere punkte. soweit sind wir. die moeglichen extremwerte sind dann entsprechend und . und falls du es noch ganz genau machen willst (musst): warum nur "moegliche" extremwerte? wie im eindimensionalen fall, ist mittels der "zweiten ableitung" zu pruefen, ob die ermittelten stationaeren punkte auch extrema darstellen. dazu musst du die hessematrix berechnen. diese beinhaltet die zweiten partiellen ableitungen. in diese matrix setzt du dann die stellen sowie einmal ein und untersuchst die matrix auf definitheit: ist die hessematrix an einer stelle positiv definit, besitzt die funktion an dieser stelle ein lokales minimum. ist die hessematrix an einer stelle negativ definit, besitzt die funktion an dieser stelle ein lokales maximum. die definitheit der hessematrix ermittelst du ueber deren eigenwerte. in deinem fall ist positiv definit, hat also an der stelle ein lokales minimum. an der stelle ist die hessematrix aber indefinit (ein positiver und ein negativer eigenwert), dort hat die funktion einen sattelpunkt, es liegt kein extrema an der stelle vor. |
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Jetzt machts langsam klick bei mir :-) und du hast sogar schon meine nächsten Fragen beantwortet. Die Hessematrix wäre das nächste Fragezeichen gewesen. Vielen Vielen lieben Dank für die Geduld und die super Erklärung! LG Kat |
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