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Extremwertproblem minimaler Abstand Analysis

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: 3D Koordinaten, Analysis, Extremwert, minimaler Abstand, Quader

anonymous

12:21 Uhr, 17.06.2017

Ich verstehe nicht wie man den minimalen Abstand als Extremwertproblem lösen kann .
Es handelt sich um ein Quader. Ein strahl verläuft von der mitte der kante rechts oben zum Mittelpunkt der Grundfläche. ich soll den minimalen Abstand von dem Punkt vorne rechts in der Ecke bestimmen und mein problem ist halt das das ganze in

3 d

ist..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:23 Uhr, 17.06.2017

Bild bitte in richtige Position bringen.

anonymous

12:32 Uhr, 17.06.2017

ist es so besser?

Stephan4

14:50 Uhr, 17.06.2017

a)

tan α = \frac{50}{75} α = 33,7

s^{2} = 50^{2} + 75^{2} s = 90,14

b)

mit Vektoren:
Ursprung ist die Kamera.
Gesucht ist der Abstand des Punkts

K (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

von der Geraden des Laserstrahls:

\vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 75 \\ 0 \\ - 50 \end{matrix})

d = \frac{| (\begin{matrix} 0 \\ 30 \\ 50 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 75 \\ 0 \\ - 50 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} - 75 \\ 0 \\ - 50 \end{matrix}) |} = \frac{\sqrt{21375000}}{\sqrt{8125}} = 51,291

Formel Abstand Punkt Gerade:
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie#Abst.C3.A4nde_2

b)

als Extremwertaufgabe:
Abstand

\bar{X K}

ist zu minimieren.

\bar{X K} = d = | \vec{K} - \vec{X} | = | (\begin{matrix} 0 \\ - 30 \\ 50 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 75 \\ 0 \\ - 50 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | =

= \sqrt{{(- 75 r)}^{2} + {(- 30)}^{2} + {(50 - 50 r)}^{2}}

d

nach

r

ableiten und Null setzen:

d' = 0 = \frac{2 (- 75 r) \cdot (- 75) + 2 \cdot (50 - 50 r) \cdot (- 50)}{2 \cdot \sqrt{...}}

r = 0,308 d = 51,291

:-)

anonymous

23:55 Uhr, 18.06.2017

Hallo, erstmal vielen vielen dank für deine Antwort :-)
könntest du mir das vielleicht genauer erklären wie du auf die Gleichung

K - X

ist gleich

...

. kommst und wieso das ganze minus

\frac{0}{0} / 0

Stephan4

00:17 Uhr, 19.06.2017

Die Kenntnis von
- Geradengleichung in Parameterform
- Länge eines Vektors
- Bilden eines Vektors von einem Punkt zu einem anderen
wird vorausgesetzt.

X

ist ein Punkt auf dem Laserstrahl.

Der Laserstrahl ist als Geradengleichung in Parameterform dargestellt.

Gesucht ist jenes

X,

das den geringsten Abstand zu

K

hat.

Die Koordinaten von

K

sind bekannt, eben der Ursprung des Koordinatensystems.

Der Abstand

\bar{K X}

bekommt man, indem man den Vektor von

K

nach

X

bildet, und dann dessen Länge ermittelt.

Den Vektor von

K

nach

X,

also

\vec{K X},

erhält man, indem man

K

minus

X

rechnet.

Die Länge eines Vektors kann man als Betrag des Vektors ausdrücken,
also

| \vec{K X} |

.

Dann habe ich aber irrtümlich

X - K

gerechnet, uns nicht

K - X

. Da ich dann aber davon den Betrag genommen habe, ist dieser Irrtum unerheblich geworden,
denn

| \vec{K X} | = | \vec{X K} |

.

:-)

anonymous

00:41 Uhr, 19.06.2017

Ah okay . Mich hat es nur verwirrt da mein Koordinatensystem anders ist. Danach hast du die ableitung vom Betrag berechnet das gleich null gesetzt um ein minumum zu erhalten, oder? Und wofür bräuchte ich die abstand punkt gerade formel?
Danke :-)

Stephan4

19:28 Uhr, 19.06.2017

Dein Koordinatensystem ist mir leider nicht bekannt, sonst hätte ich es selbstverständlich verwendet. Es sollte das selbe Ergebnis liefern.

"..., oder?"
Ja, stimmt.

Mit der "abstand punkt gerade formel" habe ich den ersten Teil von

b)

beantwortet, die Lösung mit Hilfe der analytischen Geometrie. Es liefert das selbe Ergebnis.

Zu Beginn habe ich

a)

gelöst, als Aufwärmrunde.

:-)

anonymous

23:56 Uhr, 19.06.2017

Oh mein Gott danke du hast meine Prüfung gerettet

!; D

anonymous

17:13 Uhr, 20.06.2017

könntest du mir deinen rechenweg zur ableitung zeigen? Wenn ich ableite und es gleich null setze erhalte ich

r = 0,1 .

Stephan4

20:36 Uhr, 20.06.2017

Es handelt sich hier um eine Funktion unter einer Wurzel.

Man muss also zuerst die Wurzel selbst ableiten und mit der inneren Ableitung multiplizieren. Die innere Ableitung ist die Ableitung des Ausdrucks, der unter der Wurzel steht.

Das ist die Kettenregel.

Das ganze wird dann Null gesetzt. Dabei genügt es, die innere Ableitung Null zu setzen, weil es ein Faktor vom ganzen ist.

:-)

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