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Facharbeit über Rotationskörper

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Rotationskörper, Rotationsvolumen, Volumen

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15:45 Uhr, 07.02.2010

Ich muss in Mathe ne Facharbeit zum Thema Rotationskörpern schreiben. Drum gerissen habe ich mich nicht. Ich habe nun folgendes Problem.

Die Ausgangsgleichung ist

- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2}

Der Intervall ist

[- 2; 6]

Nun muss ich die doch in die Gleichung fuers Rotationskoerpervolumen einsetzen, also:

V = π \cdot - 2 \int 6 {(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2}

(also die

- 2

und die 6 links bzw rechts vom integral-zeichen sind die grenzen des intervalls ;-)

wie gehts dann weiter? erst

{f (x)}^{2}

rechnen, dann von der daraus entstehenen Gleichung die Stammfunktion bildne und das Integral ausrechnen und das dann mit

π

multiplizieren? stimmt das soweit? ich hab es auf die weise schon versucht, aber ein mit sehr hoher wahrscheinlichkeit falsches ergebnis rausbekommen, vielleicht hab ich mich auch irgendwo verrechnet.

ein freund von mir hat das mal in seinen wissenschaftlichen taschenrechner eingegeben und halt als ergebnis

47,54

rausbekommen, das kommt der sache vielleicht schon naeher, denke ich.

Brauche echt hilfe, danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

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Alx123 aktiv_icon

15:53 Uhr, 07.02.2010

Die Reihenfolge in der du vorgegangen bist, ist richtig, hast dich wahrscheinlich irgendwo verrechnet.

esteban aktiv_icon

16:32 Uhr, 07.02.2010

aaaaargh ich blick's einfach nich. ich krieg schon wieder nur murks raus, ich schaetze mal, ich mach das potenzieren irgendwie falsch.

{(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2}

= \frac{1}{64} x^{6} + \frac{3}{32} x^{5} - \frac{3}{32} x^{5} + \frac{9}{64} x^{4}

= \frac{1}{64} x^{6} + \frac{9}{64} x^{4}

das is nich richtig oder? falls ja, ergaebe sich daraus folgende Stammfunktion:

F (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{64} x^{7} + \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{64} x^{5}

\Leftrightarrow F (x) = \frac{1}{448} x^{7} + \frac{9}{320} x^{5}

richtig soweit?

hab jetzt davon das Integral gebildet, also

F (6) - F (- 2)

hab dann

843,90

rausbekommen, multipliziert, mir

π

ergibt das

2651,19

.
und das kann nun wirklich nicht stimmen

- . -

Danke schonmal fuer die schnelle Antowrt, ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Astor aktiv_icon

16:39 Uhr, 07.02.2010

Hallo,
du kannst doch hier die 2. binomische Formel anwenden.

(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})^{2} = \frac{1}{64} x^{6} - 2 * \frac{1 * 3}{8 * 4} x^{5} + \frac{9}{16} x^{4}

Gruß Astor

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19:22 Uhr, 08.02.2010

ich weiss nich, ob ich grad nur einen temporären aussetzer habe, oder ob ich das generell irgendwie immer verplane, aber ich hab es grad noch einmal (mittlerweile zum 4. oder 5. mal) versucht und wieder nur murks rausbekommen...

- . -

kann mir evtl jemand ne endloesung geben, ggf. mit zwischenschritten, falls erforderlich?

danke

Alx123 aktiv_icon

20:37 Uhr, 08.02.2010

Also, es gilt:

V = π \int_{- 2}^{6} {(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2} d x

NR:

{(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2} = {(\frac{3}{4} x^{2} - \frac{1}{8} x^{3})}^{2}

2. binomische Formel:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

\Rightarrow {(\frac{3}{4} x^{2} - \frac{1}{8} x^{3})}^{2} = {(\frac{3}{4} x^{2})}^{2} - 2 \frac{3}{4} x^{2} \frac{1}{8} x^{3} + {(\frac{1}{8} x^{3})}^{2} = {(\frac{3}{4})}^{2} x^{2 * 2} - 2 \frac{3}{4} \frac{1}{8} x^{2} x^{3} + {(\frac{1}{8})}^{2} x^{3 * 2}

= \frac{9}{16} x^{4} - \frac{3}{16} x^{2 + 3} + \frac{1}{64} x^{6} = \frac{9}{16} x^{4} - \frac{3}{16} x^{5} + \frac{1}{64} x^{6}

also gilt jetzt :

V = π \int_{- 2}^{6} {(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2} d x = π \int_{- 2}^{6} \frac{9}{16} x^{4} - \frac{3}{16} x^{5} + \frac{1}{64} x^{6} d x

NR.2:

\int \frac{9}{16} x^{4} - \frac{3}{16} x^{5} + \frac{1}{64} x^{6} d x = \int \frac{9}{16} x^{4} d x - \int \frac{3}{16} x^{5} d x + \int \frac{1}{64} x^{6} d x

es gilt ja:

\int α x^{n} d x = α \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c

\Rightarrow \int \frac{9}{16} x^{4} d x - \int \frac{3}{16} x^{5} d x + \int \frac{1}{64} x^{6} d x = \frac{9}{16} \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{16} \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{64} \frac{1}{7} x^{7} + c = \frac{9}{80} x^{5} - \frac{3}{96} x^{6} + \frac{1}{448} x^{7} + c

jetzt die Grenzen:

[\frac{9}{80} x^{5} - \frac{3}{96} x^{6} + \frac{1}{448} x^{7}] ∣_{- 2}^{6} = \frac{9}{80} 6^{5} - \frac{3}{96} 6^{6} + \frac{1}{448} 6^{7} - (\frac{9}{80} (- 2)^{5} - \frac{3}{96} (- 2)^{6} + \frac{1}{448} (- 2)^{7})

= \frac{9}{80} 7776 - \frac{3}{96} 46656 + \frac{1}{448} 279936 - (- \frac{9}{80} 32 - \frac{3}{96} 64 - \frac{1}{448} 128)

= \frac{4374}{5} - 1458 + \frac{4374}{7} - (- \frac{18}{5} - 2 - \frac{2}{7})

= \frac{1458}{35} - (- \frac{206}{35})

= \frac{1458}{35} + \frac{206}{35}

= \frac{1664}{35}

\Rightarrow V = π \int_{- 2}^{6} {(- \frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2})}^{2} d x = π \frac{1664}{35} \approx 150

esteban aktiv_icon

22:55 Uhr, 08.02.2010

Wow, danke, dass du dir so viel Zeit dafuer genommen hast;-)

bist du sicher, dass es richtig ist? (also eben so sicher, wie man sich sein kann ;-) )

danke nochmal

Alx123 aktiv_icon

17:57 Uhr, 09.02.2010

Ja, ist richtig, der PC hat das gleiche raus.

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