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Flächeninhalt Kegel - Parametrisierung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Integration

Tags: Differentiation, Flächeninhalt, Funktion, Integration, parametrisierung, Untermannigfaltigkeit

mcjens aktiv_icon

21:20 Uhr, 16.06.2015

Guten Abend!
Folgende Aufgabe würde ich gerne mit euch lösen:

Berechne den Flächeninhalt des Kegels

{(x, y, z) \in ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} = z^{2}, x^{2} + y^{2} \leq 1, z \geq 0}

a)

durch die Flächeninhaltsformel und die Parametrisierung

(x, y) \mapsto (x, y, \sqrt{x^{2} + y^{2}}

b)

durch "Aufschneiden" des Kegels entlang

{x = z \in [0,1], y = 0}

und ,,Ausrollen” in der Ebene, anschließend elementargeometrische Überlegung.

Zunächst mal zu

a) :

Muss es nicht

(x, y, z) \mapsto . .

. heißen?
Ich vermute, dass ich die Gram'sche Determinante benötige, ist das richtig? Und womöglich den Transformationssatz...?

Bin echt auf Hilfe angewiesen :-D)

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mcjens aktiv_icon

11:09 Uhr, 17.06.2015

Niemand eine Idee?

pwmeyer aktiv_icon

12:09 Uhr, 17.06.2015

Hallo,

"Zunächst mal zu

a) :

Muss es nicht (x,y,z)↦... heißen?"

Nein. Es handelt sich dabei um die Flächenparametrisierung, Parameter sind

x, y

und der Kegel ist

{(x, y, \sqrt{x^{2} + y^{2}}) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} \leq 1}

Ja, Du brauchst die Gramsche Determinante.

Gruß pwm

mcjens aktiv_icon

14:07 Uhr, 17.06.2015

Verstehe!
Würde dann zunächst die Jacobi-Matrix bilden:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \end{matrix})

Daraus dann die "Gram'sche Matrix":

(\begin{matrix} 1 + \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} & \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} & 1 + \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \end{matrix})

Nun wäre die

det :

1 + \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

Stimmt das soweit? Nun würde ich das Integral berechnen und die Wurzel der Determinante "einsetzen", doch leider kann ich da nix schönes rauskürzen und ich weiß auch noch nicht die Grenzen... Wobei eine Grenze 0 bis 1 sein muss, da

x^{2} + y^{2} \leq 1

ist, oder?

DerDepp aktiv_icon

15:07 Uhr, 17.06.2015

Aloha :-)

Vorgegeben ist der folgende Kegel:

x^{2} + y^{2} = z^{2}; x^{2} + y^{2} \leq 1; z \geq 0

Dieser steht auf dem Kopf, mit der Spitze im Koordinatenursprung (bei

z = 0

), und fächert dann mit zunehmenden

z

auf (bis zu

z = 1

). Der Vektor

\vec{r} = (\begin{array}{c} x \\ y \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array})

tastet die Oberfläche

F

dieses Kegels ab. Diese lässt sich durch Integration über die Flächenelemente

d f

am jeweiligen Ort

\vec{r}

bestimmen. Für die Flächenelemente gilt:

d f = ∣ \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} ∣ d x d y = ∣ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ x / \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ y / \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}) ∣ d x d y = ∣ (\begin{array}{c} - x / \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ - y / \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ 1 \end{array}) ∣ d x d y = \sqrt{2} d x d y

Damit man sich mit den Vorzeichen der Integrationsgrenzen nicht verfummelt, kann man sich auf den ersten Oktanden beschränken, der

1 / 4

des Kegelmantels beinhaltet. Für die gesamte Mantelfläche gilt daher:

F = 4 \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} d y \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = \dots = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{π}{4} = \sqrt{2} π

In Polarkoordinaten wäre die Rechnung angenehmer gewesen, aber die verwendete Parametrisierung war ja in der Aufgabenstellung vorgeschrieben.

mcjens aktiv_icon

15:42 Uhr, 17.06.2015

Hey, erstmal vielen Dank für deine Unterstützung!

Den Gedanken mit den Polarkoordinaten hatte ich auch, aber was solls ;-)
"Leider" ist die zweite Vorgabe in der Aufgabenstellung ja die Benutzung der Flächeninhaltsformel und damit ist wohl die Gram'sche Determinate zu miteinbeziehen.
Dein Lösungsweg ist mir nämlich leider bisher auch nicht bekannt, wenn ich dir gleichzeitig aber glaube, dass du korrekt rechnest und das Ergebnis stimmt :-D)

Womöglich hast du ja in diese Richtung noch eine Idee, ich würde mich freuen!

abakus

16:03 Uhr, 17.06.2015

"Berechne den Flächeninhalt des Kegels"

Bitte genauer erklären, denn DEN Flächeninhalt gibt es für Kegel nicht.
Da gibt es DAS Volumen.

Aber an Flächeninhalten gibt es die Inhalte
- des Grundkreises
- der Mantelfläche
- der gesamten Oberfläche.
Ist letztere gemeint?

mcjens aktiv_icon

16:12 Uhr, 17.06.2015

Das ist nicht angegeben, aber unser Thema ist Integration auf Untermannigfaltigkeiten. Und ich vermute ebenfalls, dass damit die Oberfläche gemeint ist.

pwmeyer aktiv_icon

16:57 Uhr, 17.06.2015

Hallo mcjens,

Du warst doch oben schon mit Deinem Post von

14 : 07

soweit.

Das was das steht ist doch einfach

\sqrt{2}

.

Also brauchst Du nur noch

\sqrt{2}

über den Einheitskreis integrieren - eventuell mit Polarkoordinaten. Allerdings ist auch ohne Rechnung klar, was da heraus kommt.

Gruß pwm

mcjens aktiv_icon

17:36 Uhr, 17.06.2015

Tatsächlich, hab da nicht mehr den klaren Blick gehabt.

(Das unten soll bedeuten, dass ich über dem Einheitskreis integriere: )

\int \int_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \sqrt{2} d x d y

Mir ist bekannt, dass die Fläche des Einheitskreises

π

beträgt und somit das Ergebnis

\sqrt{2} π

sein sollte. Doch wie kann ich es noch sauber zu Ende rechnen,

d . h

. die richtigen Grenzen bestimmen.

y = \sqrt{1 - x^{2}}

setzen? Also

\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} d y

? Nur nach welchen Grenzen integriere ich x?

mcjens aktiv_icon

21:09 Uhr, 18.06.2015

Noch jemand eine Idee?
Vielleicht zur

b)

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