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Formel für Schnittpunkt Gerade mit Ebene

Schüler

Tags: Schnittpunkt

Stephan4

13:19 Uhr, 28.04.2014

Hallo

gegeben Gerade (Punkt und Vektor) und eine Ebene (Punkt und Normalvektor) in folgender Form:

g : \vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{r} ε : \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}

Gesucht ist der Schnittpunkt S.

Gibt es eine Formel, mit der man

S

ausrechnen kann?
Sie soll so beginnen:

\vec{S} = . .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

13:37 Uhr, 28.04.2014

Hallo,
ich fürchte, sowas läuft immer auf die Lösung einer Gleichung hinaus.
Du kannst in die Ebenengleichung einsetzen:
für Vektoren nehme ich nur kleine Buchstaben

. .

g : \vec{x} = \vec{a} + λ \vec{r}

E : \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}

Geradengleichung

g

in die Ebenengleichung

E

einsetzen:

\vec{n} \cdot (\vec{a} + λ \vec{r}) = \vec{n} \cdot \vec{p}

Jetzt MUSST Du auf beiden Seiten das Skalarprodukt auswerten.
Du erhältst so eine Bestimmungsgleichung für den Parameter

λ_{S}

welcher zum gesuchten Schnittpunkt

S

führt.

Falls Du eine Lösung

λ_{S}

findest, so musst Du diesen "speziellen Wert für den Parameter lambda" in die Geradengleichung

g

einsetzen.

Der Ortsvektor

\vec{s}

des gesuchten Schnittpunkts

S

ist dann die "Vektorkette"

\vec{s} = \vec{a} + λ_{S} \vec{r}

;-)

funke_61 aktiv_icon

14:00 Uhr, 28.04.2014

Wenn Du die einzelnen Komponenten der Vektoren mit den Indices

1,2

und 3 benennst; ergibt sich die Bestimmungsgleichung:

(\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{1} + λ_{S} r_{1} \\ a_{2} + λ_{S} r_{2} \\ a_{3} + λ_{S} r_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

Werte die Skalarprodukte aus:

n_{1} (a_{1} + λ_{S} r_{1}) + n_{1} (a_{2} + λ_{S} r_{2}) + n_{3} (a_{3} + λ_{S} r_{3}) = n_{1} p_{1} + n_{2} p_{2} + n_{3} p_{3}

Multipliziere die linke Seite aus.
Lass die Terme mit

λ_{S}

auf der linken Seite und bring die anderen Terme auf die rechte Seite.
Klammere links

λ_{S}

aus.
Teile die Gleichung durch die Klammer und Du hast einen Wert für das gesuchte

λ_{S}

Ohne Gewähr wäre die Lösung für

λ_{S}

(sofern die Gerade

g

überhaupt die Ebene

E

"durchstösst")

λ_{S} = \frac{n_{1} (p_{1} - a_{1}) + n_{2} (p_{2} - a_{2}) + n_{3} (p_{3} - a_{3})}{n_{1} r_{1} + n_{2} r_{2} + n_{3} r_{3}}

;-)

funke_61 aktiv_icon

14:20 Uhr, 28.04.2014

Wenn Du nun noch in die Gleichung

\vec{s} = \vec{a} + λ_{S} \vec{r}

einsetzt, ergibt sich in Komponenten

\vec{s} = (\begin{matrix} s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + λ_{S} (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \end{matrix})

mit

λ_{S} = \frac{n_{1} (p_{1} - a_{1}) + n_{2} (p_{2} - a_{2}) + n_{3} (p_{3} - a_{3})}{n_{1} r_{1} + n_{2} r_{2} + n_{3} r_{3}}

Damit hat der Schnittpunkt

S (s_{1} | s_{2} | s_{3})

den Ortsvektor

\vec{s} = (\begin{matrix} a_{1} + λ_{S} r_{1} \\ a_{2} + λ_{S} r_{2} \\ a_{3} + λ_{S} r_{3} \end{matrix})

bzw. mit eingestztem

λ_{S}

den Ortsvektor:

\vec{s} = (\begin{matrix} a_{1} + \frac{n_{1} (p_{1} - a_{1}) + n_{2} (p_{2} - a_{2}) + n_{3} (p_{3} - a_{3})}{n_{1} r_{1} + n_{2} r_{2} + n_{3} r_{3}} r_{1} \\ a_{2} + \frac{n_{1} (p_{1} - a_{1}) + n_{2} (p_{2} - a_{2}) + n_{3} (p_{3} - a_{3})}{n_{1} r_{1} + n_{2} r_{2} + n_{3} r_{3}} r_{2} \\ a_{3} + \frac{n_{1} (p_{1} - a_{1}) + n_{2} (p_{2} - a_{2}) + n_{3} (p_{3} - a_{3})}{n_{1} r_{1} + n_{2} r_{2} + n_{3} r_{3}} r_{3} \end{matrix})

Aber wie gesagt, alles ohne Gewähr, denn da verschreibt man sich schnell mal mit den vielen Indizes ;-)

Stephan4

23:25 Uhr, 28.04.2014

Hallo Funke,
wow, das war wohl eine große Arbeit.

"Gibt es eine Formel, mit der man

S

ausrechnen kann? "
Damit habe ich gemeint, ob die schon wo steht.

Darf ich nochmals zusammenfassen:
Gesucht:

ε \cap g = S

Gegeben:

ε : \vec{n_{ε}} \cdot \vec{X} = \vec{n_{ε}} \cdot \vec{E}

(Ebene

ε

mit Normalvektor

\vec{n_{ε}}

und Punkt

E)

g : \vec{X} = \vec{G} + λ \vec{r_{g}}

(Gerade

g

mit Richtungsvektor

\vec{r_{g}}

und Punkt

G)

Dann ist

ε \cap g = \vec{S} = \vec{G} + \frac{\vec{n_{ε}} \cdot \vec{G E}}{\vec{n_{ε}} \cdot \vec{r_{g}}} \cdot \vec{r_{g}}

Was mich wundert, dass diese Formel nirgends zu finden ist. Anwendung findet sie doch in vielen Beispielen und würde das Schülerleben sehr vereinfachen, finde ich.

Ma-Ma aktiv_icon

00:29 Uhr, 29.04.2014

Schnittpunkt Gerade-Ebene, dafür gibt es mehrere einfache Möglichkeiten. Kommt immer darauf an, in welcher Form die Ebenengleichung vorliegt.

Die von Dir angegebene Formel ist auch nicht einfacher, Du musst mehrere Male das Skalarprodukt bilden. (Wo hast Du diese Formel her?)

Gerne können wir mal ein konkretes Beisspiel durchrechnen

. .

Stephan4

01:14 Uhr, 29.04.2014

Formel haben wir hier selbst entwickelt. Guck mal oben.

Sicher muss man einiges rechnen, aber es ist eine fertige Formel.

Die Hessesche Normalform zum Beispiel ist ja auch einfach zu bedienen, steht in jeder Formelsammlung und muss bei der Anwendung nicht nachgewiesen werden. Ist also sehr praktisch.

Und genauso sehe ich den Vorteil dieser Formel.

Beispiel gefällig?

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

ε : 2 x + 3 y \pm 4 z = 15

ε \cap g = \vec{S} = \vec{G_{g}} + \frac{\vec{n_{e}} \cdot \vec{G_{g}_E_{e}}}{\vec{n_{e}} \cdot \vec{r_{g}}} \cdot \vec{r_{g}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}) + \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 9 \\ 3 \end{matrix})

Ma-Ma aktiv_icon

01:20 Uhr, 29.04.2014

Du kannst sicherlich jede Formel nach einer Variablen umstellen

. .

. Da ist okay.
Worin liegt nun der Vorteil in Deiner umgestellten Formel ?

Was machst Du, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist ?

Stephan4

01:30 Uhr, 29.04.2014

Meinst Du mit 2 Spannvektoren?
Entweder durch Gleichsetzen 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten erzeugen und den Geradenparameter ausrechnen.
Oder mit dem errechneten Normalvektor meine Formel benutzen.
Geschmackssache.

Ma-Ma aktiv_icon

01:41 Uhr, 29.04.2014

Nein.

Dir ist der Unterschied zwischen Parameterform, Normalenform und Koordinatenform nicht geläufig

. .

.

Deshalb nützt Dir Deine Formel wenig.
Je nach Ebenen-Form kann man ein bevorzugtes Verfahren einsetzen

. .

.

Im Endeffekt gilt: Verstehen ist besser als irgendeine Formel zu kennen.

Stephan4

01:51 Uhr, 29.04.2014

Wenn die Koordinatenform nicht die ist, von der ich oben ausgehe, dann ist sie mir wirklich nicht geläufig.
Kannst Du mich aufklären?

Ma-Ma aktiv_icon

01:55 Uhr, 29.04.2014

Schulbuch Klasse

12

oder

13

aufschlagen und nachlesen

. .

. dort wird Vektorrechnung erklärt...

Stephan4

02:01 Uhr, 29.04.2014

Hab ich nicht mehr. Deswegen frage ich dich ja. Und weil ich glaube, dass da eine kleine Verwechslung vorliegt.

Du hast ja den Ausdruck schließlich verwendet.

Ma-Ma aktiv_icon

02:04 Uhr, 29.04.2014

Da liegt keine Verwechslung vor. Moment bitte, ich suche mal nach einem Beispiel.

Ma-Ma aktiv_icon

02:12 Uhr, 29.04.2014

Beispiel: Gesucht Schnittpunkt
Gerade

\vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})

Ebene

2 x + y + z = 4

- - - - - - - - - - - - - -

Lösung 1: Geradengleichung und Ebenengleichung verwenden.

Lösung 2: Geradengleichung und Normalengleichung der Ebene (oder Deine Formel) verwenden (hier kannst Du Deine umgestellte Formel verwenden!)

LG Ma-Ma

Stephan4

03:46 Uhr, 29.04.2014

OK, jetzt weiß ich, was Du meinst. Hab da wohl was übersehen. Man braucht einen Punkt der Ebene.
Danke für Deinen Hinweis.

Hab's korrigiert.
Jetzt kommt die "4" der Ebenengleichung ins Spiel. Und man braucht keinen Punkt der Ebene mehr:

ε \cap g = \vec{S} = \vec{G_{g}} + \frac{d - \vec{n_{e}} \cdot \vec{G_{g}}}{\vec{n_{e}} \cdot \vec{r_{g}}} \cdot \vec{r_{g}} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{4 - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

λ = \frac{6}{12} = 0,5

1161327

1161021

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