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Frage zum Logarithmieren in Ungleichungen

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Logarithmieren, Logarithmus, Stochastik, Ungleichung, Wahrscheinlichkeit

noxs12 aktiv_icon

17:29 Uhr, 25.09.2015

Hallo allerseits,

ich beschäftige mich gerade mit der Stochastik und bin auf ein Problem gestoßen, welches ein paar Fragen aufwirft;
Da ich in der unten angegebenen Ungleichung mit

(- 1)

multipliziere wird das Vorzeichen ja umgekehrt. Danach logarithmiere ich. Das Ergebnis entspricht nur aufgrund des umgekehrten Ungleichungszeichens nicht der angegebenen Lösung.

Folgender Ausgangspunkt:

Es existieren

20000

Lose, davon sind

5 %

Hauptgewinne, der Rest sind Nieten.
Nun soll errechnet werden, wie viele Lose nötig sind, um mit einer mehr als 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen Hauptgewinn zu erzielen.
Die Wahrscheinlichkeit darf nährungsweise angegeben werden.

Mein Lösungsweg:

n =

Anzahl der Lose

x =

Menge an Hauptgewinnen
Gesucht: Menge von

n

damit

P (x \geq 1) \geq 0,95

P (x \geq 1) = 1 - P (x = 0) =

1 - {0,95}^{n} \geq 0,95 | - 1

- {0,95}^{n} \geq - 0,05 | \cdot (- 1)

Ungleichungszeichen kehrt sich um

{0,95}^{n} \leq 0,05 | log

n \leq log 0,95 (0,05)

n \leq 58,4

Nach dieser Rechnung müssen also

58

Tickets oder weniger gekauft werden.
Logischerweise kann das ja nicht sein, es müssen nämlich mindestens

59

Tickets gekauft werden. Das richtige Ergebnis ist also:

n \geq 58,4

Aber wieso entspricht dies nicht meiner Rechnung? Welche Rechnenregel der Ungleichungen mit Logarithmus ist mir entgangen?

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Vielen Dank,
Jo.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

anonymous

18:04 Uhr, 25.09.2015

Beim Logarithmieren dreht sich in diesem Fall nochmals das Ungleichungsszeichen.

Begründung:

Wendet man eine monoton fallende Funktion

f

auf die Ungleichung an, so dreht sich das Ungleichungszeichen:

a \leq b \Rightarrow f (a) \geq f (b)

Deshalb dreht sich ja auch das Ungleichungszeichen bei Multiplikation mit

- 1,

da die durch

f (x) = - x

definierte Funktion (streng) monoton fallend ist.

Beim Logarithmieren wendest du hier die Funktion mit

f (x) = {log}_{0,95} (x)

an, welche (streng) monoton fallend ist.

Wenn man hingegen eine monoton steigende Funktion

f

anwendet, so bleibt das Ungleichheitszeichen wie es war:

a \leq b \Rightarrow f (a) \leq f (b)

Demnach ist

...

a \leq b \Leftrightarrow {log}_{c} (a) \geq {log}_{c} (b)

für

0 < c < 1

...

und

...

a \leq b \Leftrightarrow {log}_{c} (a) \leq {log}_{c} (b)

für

1 < c

.

Edit: "2015-09-25T18:11"
Kleine Tippfehler ausgebessert.

noxs12 aktiv_icon

18:33 Uhr, 25.09.2015

Hey,

vielen Dank für die schlüssige Antwort.

Die Rechnenregeln sind mir jetzt bewusst.

Vielleicht öffne ich hier gleich die Büchse der Pandora, aber wie kann ich mir eine Ungleichung, auf die eine bespielsweise monton fallende Funktion angewendet wird, grafisch vorstellen?
Also, was genau passiert dort mit der Ungleichung?

Ich bin eher visuell veranlagt.

Nunja, falls noch Zeit besteht, würde ich mich über einen Link oder eine Erklärung freuen.

Dank nochmals,
Jo.

edit: Typo

Edddi aktiv_icon

19:00 Uhr, 25.09.2015

. .

. monoton steig. Fkt.

y = x, d . h

. mit wachsenden

x,

also

x_{2} > x_{1},

wächst auch

y

. Dann ist

y_{2} > y_{1}

Oder du verzehnfachst.

x_{1} < x_{2} \Rightarrow 10 \cdot x_{1} < 10 \cdot x_{2}

Bei einer monoton fallenden, wie

z . B

y = \frac{1}{x}

gilt:

x_{1} < x_{2} \Rightarrow \frac{1}{x_{1}} > \frac{1}{x_{2}}

(Vorzeichenumkehr bei reziprok. Wert)

Weil ja die Funktionswerte mit wachsendem

x

kleiner werden.

:-)

noxs12 aktiv_icon

19:23 Uhr, 25.09.2015

Hi Edddi,

danke für die Antwort.

Ich habe es jetzt auch verstanden, werde den Thread jetzt schließen.

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