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Funktion Halbwertszeit
Universität / Fachhochschule
Tags: 200 Stunden Halbwertszeit, Medikamenteneinnahme, wie sieht die Kurve aus bei Langzeiteinnahme täglich?
 
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Wie heißt die Formel für ein Medikament, das eine Halbwertszeit von Stunden hat und über längere Zeit eingenommen wird? Wie ist die Kumulation zu errechnen? Wie sieht das Ganze in der Kurve aus? Beispiel: Medikament: Menge mg, Halbwertszeit Stunden. Ich würde mich gerne aktiv daran beteiligen, habe aber nur das (sehr gute) Wissen einer Fachhochschulreife. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) |
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in Stunden |
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Hallo und vielen Dank für die Antwort. Was müßte ich nun für t eintragen? Und wie sieht es mit der Kumulation aus? |
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2 Varianten wusste nicht genau wie du es meinst 1)einnahme des Medikaments über einen zeitraum für die Kumulation musst du dir erst mal die Zugabe Funktion überlegen die beschrieben wird mit zugabe von mediakament/Zeit am Zeitpunkt Bsp. bei konstanter einnahme (Einheit von ( medikament menge)/stunde) Die Vorliegende Medikamenten Menge lässt sich dann über dieses Integral berechnen N(tm)= Die Idee hinter diesem Integral ist das mann zuerst nur das Medikament betrachtet das zum selben zeitraum dazugegeben wurde und betrachtet gibt genau an wieviel davon am Zeitpunkt noch übrig ist. Danach summiert man einfach über alle Zeitpunkt integrall und erhällt die gesammte Menge an Medikament. einnahme in einen Zeitraum zu verschieden Zeitpunkten N(t)=(einahme Menge 1 )⋅0,5^(t_1/200) +(einahme Menge 2 )⋅0,5^(t_2/200) +(einahme Menge 3 )⋅0,5^(t_3/200) . (einahme Menge )⋅0,5^(t_n/200) |
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Das ist aber sehr nett von dir. Könntest du mir das evtl. ausrechnen. Das ist nun doch zu hoch für mich und auch zu lange her. Tägliche Einnahme: 17,5 mg Einnahmedauer: 20 Tage dann: Tägliche Einnahme: 17 mg Einnahmedauer: 20 Tage und: Tägliche Einnahme: 2 mg Einnahmedauer: 40 Tage lg Sigggi |
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nach excel (mit Annahme zwischen den Einnahmen immer genau 1 Tag ) Stand des Medikaments am ende des Tages(kurz vor der . einnahme) mg mg mg mg mg mg |
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Vielen Dank liebe(r) Apilex, ich habe noch eine Frage. Ist die Abnahme der Kumulation bei Verringerung des Medikamentes linear fallend? Ich habe noch eine Frage und hoffe, dass ich dich nicht überstrapaziere. Wie wäre die Rechnung bei einer Halbwertszeit von 50 Stunden? Und finde ich im Internet irgendwo einen Graphen, aus dem ich deine Berechnung mir dann auch bildlich vorstellen kann? Es müssen natürlich nicht die exakten Größen sein. Es genügen die Parameter: mg eingenommen täglich, HWZ 50 Stunden und eben die Kumulation. Vielen Dank im Voraus. lg Sigggi |
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ja denn du kannst bei meiner Variante 2 einfach deine tägliche Einnahmemenge ausklammern tägliche Einnahmemenge linear abhängig zur kumulation die einfach durch ersetzen in meiner Variante 2 17,5mg 17mg 2mg hab leider kein schönes Bild gefunden ich hoffe mein schnell selbst gemahltes gibt dir eine ungfähre Vorstellung  |
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Hier ein Vergleich der Wirkstoffansammlung, einmal für HWZ Stunden und dann für HWZ Stunden, bei ansonsten gleichen Bedingungen, also einmalige Tagesdosis mg, Annahme exponentieller Wirkstoffabnahme und sofortiger Übergang in den Blutkreislauf (oder wo immer es wirken soll, jedenfalls kein Zwei-Compartment-Modell). Man sieht recht deutlich, wie sehr die Höhe des stabilen Wirkstoffpegels, aber auch die Zeit, bis dieser erreicht wird, von der Halbwertszeit abhängt. Einmal wird ein Maximalpegel von mg erreicht, das andere Mal sind es nur mg. Den Maximalpegel kannst du mit berechnen, als zB Man sieht daraus auch schön, dass die maximale Kumulation linear von der Tagesdosis abhängt.  |
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Hallo, vielen lieben Dank. Schade, dass du keinen adäquaten Graph gefunden hast, der das alles bildlich veranschaulichen könnte. Du hast mir aber trotzdem sehr geholfen. lg Sigggi |
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Hallo Roman, meines Wissens geht es bei der HWZ um den Stoffabbau und nicht um den Stoffaufbau oder? Eigentlich geht es auch nicht um eine einmalige Einnahme von 17,5 mg, sondern um eine tägliche Einnahme; denn nur dann kommt es auch zu einer Kumulation, wenn die HWZ entsprechend lang ist. Und wie es bei einer einmaligen Einnahme bei einer HWZ von 50 Std. zu 61,83 mg und bei einer HWZ von 200 Std. zu 219,76 mg kommt, kann ich mir logischerweise (nicht von deiner Formel) nicht erklären. Auch verstehe ich nicht die Bilder deiner Funktionen. Vielleicht liegt es aber auch an der langen Zeit, die es her ist, seit ich mich mit solchen Dingen befasst habe. Danke dir trotzdem für deine Mühe. Falls es an meinem falschen Verständnis liegt, wäre es nett, wenn du mich mathematisches Greenhorn evtl. doch noch aufklären könntest. lg Sigggi |
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meines Wissens geht es bei der HWZ um den Stoffabbau und nicht um den Stoffaufbau oder? Ja - und je schneller sich der Stoff im Körper abbaut, desto geringer die maximale Menge (Sättigung, Pegel), die sich da durch die Kumulation im Körper aufbaut. Eigentlich geht es auch nicht um eine einmalige Einnahme von mg, sondern um eine tägliche Einnahme; Ja, ja. Wodurch sonst glaubst denn, dass die Zacken in meinen Graphen entstehen? Es ist aber ein kleiner Unterschied, ob der Patient alle Minuten eine Dosis von mg zu sich nimmt, oder ob er alle Stunden eine Dosis von mg einwirft. Daher ist der Hinweis auf eine einmalige Einnahme (natürlich jeden Tag) wesentlich. Du hast ja auch nie spezifiziert, wie die Dosis von mg zu verstehen ist. Erst jetzt kommt langsam raus, dass die Vermutung von Apilex, die ich meinen Plots auch zugrunde gelegt hatte, dass es sich nämlich um eine tägliche Dosis handeln soll, offenbar richtig war. Immer noch nicht spezifiziert hast du, wie diese Tagesdosis verabreicht wird. Denn je kürzer die Verabreichungsintervalle (bei entsprechender Reduktion der Einzeldosis), desto geringer fallen logischerweise die Zacken der Kurve aus. Bei der kontinuierlicher intravenösen Verabreichung mittels eines Automaten würde sich dann (theoretisch) eine glatte Wachstumskurve einstellen. denn nur dann kommt es auch zu einer Kumulation, wenn die HWZ entsprechend lang ist. Nein, es kommt, unter Annahme eines einfachen Exponentialmodells IMMER zu einer Kumulation, denn wenn die nächste Medikamentendosis verabreicht wird, ist immer noch ein Rest noch nicht ausgeschieden, sodass es zu einer Erhöhung kommt. Allerdings wächst dabei die im Körper angesammelte Menge nicht ins Unendliche sondern erreicht eine Sättigung. Es gibt eine Grenze, der sich der Graph nähert und die aber nie überschritten wird. Und nur dafür hab ich dir die Formel angegeben und die Werte genannt. Und wie schon gesagt ist diese Obergrenze von der Halbwertszeit angängig - siehst du ja auch an den beiden Graphen - rot=200 Stunden, blau Stunden. Und wie es bei einer einmaligen Einnahme bei einer HWZ von Std. zu mg und bei einer HWZ von Std. zu mg kommt, kann ich mir logischerweise (nicht von deiner Formel) nicht erklären. Von der Formel her hättest du es dir immer schon erklären können, denn da musst du ja nur einfach einsetzen. Und dass es natürlich um die einmalige Einnahme pro Tag geht, sollte mittlerweile auch geklärt sein. Die Kurven, die sich bei tatsächlich einmaliger Einnahme ergeben sind natürlich Graphen von ganz normalen Exponentialfunktionen die sich asymptotisch der Zeitachse nähern und in den Plots dünn punktiert eingetragen wurden. Auch verstehe ich nicht die Bilder deiner Funktionen. Es ist genau das, was Apilex dir mit seiner Zeichnung demonstrieren wollte, nur eben exakt mit deinen Werten. Wir beginnen zum Zeitpunkt 0 mit der ersten Dosis von mg. Dies baut sich nun im Verlaufe eines Tages exponentiell abhängig von der HWZ ab. ZB mit HWZ=50 Std haben wir nach einem Tag noch ca. mg im Körper. Nun wird die nächste Dosis von mg verabreicht (Zacken hinauf) und wir haben plötzlich (das ist natürlich ein wenig unrealistisch) mg im Körper, die sich nun wieder innerhalb eines Tages bis auf mg abbauen. Die nächste Dosis verabreicht und schon sind mg im Körper. . Falls es an meinem falschen Verständnis liegt, wäre es nett, wenn du mich mathematisches Greenhorn evtl. doch noch aufklären könntest. Sollte hiermit geschehen sein. Falls du an einer Funktion interessiert bist, die den Wirkstoffverlauf im Körper beschreibt, so wäre das Der Graph dieser Funktion verbindet die unteren "Spitzen" der "Zacken" - siehe beigefügte Zeichnung. Die Funktionswerte geben also bei Eingabe von Zeiten, die ganzzahlige Vielfache von Tagen sind, die Wirkstoffkonzentration im Körper nach Verstreichen dieser Tagesanzahl an, also die Werte kurz vor der Einnahme der nächsten Dosis. Addierst du zu dieser Funktion noch mg, dann ergibt sich eine Funktion, die die oberen "Zacken" verbindet (siehe Plot). Wenn du nun zB die aktive Wirkstoffmenge nach Tagen und Stunden wissen möchtest, kannst du das mit berechnen. Also erst zur letzten Medikamenteneinnahme (nach Tagen), die eingenommene Dosis mg dazu addieren und dann das ganze Stunden lang exponentiell abklingen lassen.  |
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Hallo Roman, es kommt ein wenig so rüber, als wärest du verärgert. Das tut mir leid und war nicht beabsichtigt. In Wirklichkeit bin ich selbst betroffen. Ich bin 60 Jahre alt, und meine Glanz-Mathe-Zeiten sind schon einige Jahre her. Ich selbst bin in einem Forum für diese Problematik. Da ich jetzt im Niedrigdosisbereich bin und mir viele Gedanken mache, habe ich euch in Anspruch genommen. Es ist ja auch so, dass die prozentuale Verringerung immer größer wird. Eine Verringerung von 17,5 mg auf 17 mg ist natürlich viel geringer als von 2 mg auf 1,5 mg. Kann mir hier vielleicht einer von euch noch etwas sagen, das mir helfen könnte, zu verstehen? Ich habe mich eigenverantwortlich Stück für Stück von diesem Medikament schon seit geraumer Zeit herunter gearbeitet und wollte einfach wissen, welche Kumulationsmenge hatte ich bei der Ausgangsmenge von 17,5 mg, wieviel verringert sich die Kumulation bei einer Reduktion von 0,5 mg und wieviel mg habe ich bei der derzeitigen Menge von noch 2 mg in meinem Körper. Die Angabe von 200 Stunden Halbwertszeit und 50 Stunden HWZ kann ich damit erklären, dass ich versehentlich die Wirkzeit mit der HWZ verwechselt habe. Ich danke euch allen für eure Versuche der Erklärungen. Ihr habt mir wirklich weiter geholfen. lg Sigggi |
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es kommt ein wenig so rüber, als wärest du verärgert. Das tut mir leid und war nicht beabsichtigt. Dann hätte ich kaum eine so lange Antwort geschrieben. Allerdings ist es bei Fragen immer sehr wichtig, möglichst präzise zu erklären, wovon ausgegangen werden soll und was man wissen möchte. Konkret war das hier . die unklare Interpretation des Begriffs "Dosis", die sich dann so langsam zu einer "Tagesdosis" entwickelt hat. Ob dieses Tagesdosis nun auf einmal, also einmal pro Tag eine mg Tablette, genommen wird, oder vielleicht morgens und abends eine halbe Tablette, oder das hast du ja auch in deiner neuen Antwort noch immer nicht klar gestellt. Da du aber gegen die unterstellte einmalige Einnahme pro Tag nicht protestiert hast, gehe ich einmal davon aus. Unklar ist auch Die Angabe von Stunden Halbwertszeit und Stunden HWZ kann ich damit erklären, dass ich versehentlich die Wirkzeit mit der HWZ verwechselt habe. Also was ist nun die tatsächliche HWZ deines Medikaments? oder Stunden? Du hast mittlerweile ja gesehen, dass sich bei regelmäßiger Einnahme der gleichen Dosis ein relativ konstanter Pegel einstellt. Die Formel, nach dem du diesen Maximalwert berechnen kannst, hab ich dir angegeben. Man hat diese Sättigung dann erreicht, wenn in der Zeit zwischen zwei Medikamenteneinnahmen genau jene Wirkstoffmenge abgebaut wird, die dann wieder zugeführt wird. Nach dem einfachen Modell, das den Berechnungen bisher immer zugrunde lag, wird dieser Zustand zwar nie ganz exakt erreicht, aber man nähert sich immer mehr dieser Situation. Ich denke, dass meine Grafiken das auch deutlich zeigen. Diese Obergrenze, diese Sättigungsmenge, die sich da aufbaut, die ist aber von ein paar unterschiedlichen Faktoren abhängig. Einerseits wie schon gechrieben, von der HWZ. Auf die hast du aber keinen Einfluss, es sei denn du wechselst das Medikament. Dann hat natürlich die Tagesdosis einen großen Einfluss auf diesen Wert und auch das Einnahme-Intervall. Wenn du anstelle einmal pro Tag eine 20mg Tablette, viermal am Tag eine 5mg Tablette nimmst, wird sich das vielleicht nicht dramatisch auf den Sättigungswert auswirken, aber die Schwankungsbreite wäre dann eben nur mehr 5 mg und nicht mg. Es stellt sich also ein gleichmäßigerer Pegel ein, was medizinisch vielleicht wünschenswerter ist. Nicht vergessen sollte man bei all dem, dass es sich hier immer um ein recht einfaches mathematisches Modell für eine im Wahrheit viel komplexere Wirklichkeit handelt. Wir gehen davon aus, dass des Wirkstoff sofort und blitzartig aufgenommen werden und sich perfekt exponentiell abbauen. Das ist ja in Wirklichkeit keinesfalls so. Die Tablette wird erst geschluckt, gelangt in den Magen und gelangt von dort erst über die Magenschleimhaut in den Blutkreislauf (auch annähernd ein exponentieller Vorgang). Auch wird der Abbau nicht immer gleich flott erfolgen und Schwankungen unterworfen sein und an Wechselwirkungen mit anderen Medikamenten will ich erst gar nicht denken. So gesehen würde ich lieber nicht mit unkontrollierter Dosisänderung auf Basis eines sehr einfachen mathematischen Modells anfangen, ganz abgesehen von der Tatsache, dass die nötige Wirkdosis meist ja auch keine Konstante sondern individuell von Patient zu Patient verschieden ist und oftmals nur empirisch ermittelt werden kann. Auch wenn Ärzte meist sehr wenig Ahnung von den mathematischen Vorgängen haben, so haben sie im Idealfall doch praktische Erfahrung oder können vermöge von Studien und Berichten auf praktische Erfahrung anderer zurückgreifen und auf diese Weise besser die richtige Dosis finden, als es die Mathematik mit ihren beschränkten Modellen je könnte. Kann mir hier vielleicht einer von euch noch etwas sagen, das mir helfen könnte, zu verstehen? WAS verstehen? Darum, dass prozentuell gesehen bezogen auf 17,5mg weniger ist als bezogen auf 2 mg, darum gehts ja wohl nicht mehr, oder? Was genau möchtest du also noch wissen/verstehen? Beachte aber trotzdem, dass der menschliche Körper nicht wirklich nach dem einfachen Exonentialmodell der Mathematik agiert. Dass man mit der Mathematik alles ganz genau berechnen kann, das ist leider eine Illusion. Man kann die mathematischen Modelle immer besser, komplexer und aufwändiger machen und sie dann auf irgendwelchen Großrechnern implementieren (die Wetterfritzen machen uns das ja vor), aber perfekt und der Wirklichkeit entsprechend, das kanns und wirds nie spielen. |
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Hallo Roman, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Also es handelt sich, wie du schon erkannt hast, um eine Tagesdosis, aufgeteilt in 3 Einzeldosen gleichmäßig über 12 Stunden (nachts nicht). 50 Stunden entsprechen der HWZ, 200 Stunden entsprechen der Wirkzeit (in etwa). Dass das individuell sehr verschieden ist, ist mir klar Weitestgehend sind meine Fragen auch beantwortet, Roman. Doch etwas beschäftigt mich noch: viele, die schon fertig sind mit dem langsamen Ausschleichen, haben nach Monaten, teilweise nach 2 Jahren, noch starke Entzugsprobleme. Kann man das bei dieser HWZ bzw. Wirkzeit rechnerisch begründen? Und wann dürfte der Nachweis im Blut nur noch marginal sein? lg Sigggi P.S.: So... ich hoffe, ich habe dieses Mal keine dummen Fragen gestellt. WEnn doch, bitte ich um Nachsicht;-)) |
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Also es handelt sich, wie du schon erkannt hast, um eine Tagesdosis, aufgeteilt in 3 Einzeldosen gleichmäßig über Stunden (nachts nicht). Nun, das hab ich nicht erkannt - ich ging ja immer von einer einmaligen Einnahme alle Stunden aus. Das ist jetzt ja leider eher eine unregelmäßige Einnahme, die die Berechnung etwas erschweren würde - sozusagen alle 6 Stunden eine Tablette, aber jede vierte wird ausgelassen, die Intervalle also . Und wie wird die Dosis von gedrittel? Das wären ja "krumme" . Oder wird die Dosis geviertel, in der Früh und Mittags und abends die Doppeldosis von ? Aber egal, du scheinst schon die Infos zu haben, die du wolltest. haben nach Monaten, teilweise nach 2 Jahren, noch starke Entzugsprobleme. Kann man das bei dieser HWZ bzw. Wirkzeit rechnerisch begründen? Das denke ich nicht. Da handelt es sich ja vermutlich nicht um Wirkstoff, der noch im Körper ist, sondern eher um physiologische Phänomene, durch das Medikament verursachte Veränderungen im Körper, in Organen oder im Gehirn ("Suchtzentrum"). Und da wird wohl gelten, jeder Mensch reagiert anders. Da kann der Mathematiker keine Hilfestellung leisten oder Sicherheit geben. Du darfst nicht vergessen, dass das bisher immer zugrunde gelegte mathematische Modell des exponentiellen Zerfalls ein sehr einfaches ist und der Praxis vermutlich kaum gerecht wird. Der Entgiftungsprozess im Körper läuft (vor allem bei Medikamenten in der Blutbahn) bei den meisten Stoffen annähernd exponentiell ab. Welche (reversiblen oder irreversiblen) Schäden diese Stoffe im Körper anrichten, wie und warum sie in welcher Dosis bei welche Menschen wirken und wo sie sich vielleicht noch dauerhaft im Körper festsetzen können, darüber schweigt dieses Modell. Hochdosierte Antibiotikagaben können zB auch nach Jahren noch in den Darmzotten nachgewiesen werden, da ist also dort nix mit exponentiellem Zerfall. Und wann dürfte der Nachweis im Blut nur noch marginal sein? Da müsste man erst definieren, welche Menge für dieses Medikament als "marginal" gilt und ob diese Halbwertszeit von Stunden wirklich präzise und verlässlich ist (vermutlich ist sie das keineswegs, so wie es auch kein mathematisch reiner exponentieller Abbauprozess sein wird). Alles was der Mathematiker dazu sagen kann ist: WENN von dem Stoff zum Zeitpunkt vorhanden sind WENN es sich um einen klaren exponentiellen Zerfallsvorgang handelt, bei dem ganz sicher und gewiss und ohne Abweichung und Ausnahme alle Stunden die Hälfte des vorhandenen Zeugs zerfallen/ausgeschieden worden ist WENN kein weiterer Stoff von irgendeinem Depot zugeführt wird DANN ist nach der Zeit noch von dem Stoff da. Also zB, wenn jemand in seiner Blutbahn hat, das Medikament abrupt absetzt, dann hat er nach einer Woche Stunden) noch Woche)=300 von dem Zeug intus. Genau so kann man sich ausrechnen, dass nach einem Jahr Stunden) nur noch da sind, nach zwei Jahren mg. Da sind wir schon schwer im subatomaren Bereich. Ein Elektron hat eine Masse von ca. . Man müsste also ein Elektron in ca Teile (das sind unvorstellbar viele) Teile teilen, dann hätte ein einzelner dieser Teile die Masse, die nach 2 Jahren noch an Wirkstoff da ist. Kurz unmathematisch schlampig gesagt, da ist schon seit langer Zeit absolut nix mehr da. Aber ob all das auch nur annähernd irgend eine Relevanz hat für einen konkreten Patienten, sein noch irgendwo gespeichertes Wirkstoffmengendepot, oder gar die Schäden, die das Medikament vielleicht schon angerichtet hat, udgl., das wage ich zu bezweifeln. Ich fürchte, die Mathematik kann dir da leider nicht die Hilfestellung geben, die du gerne hättest. So... ich hoffe, ich habe dieses Mal keine dummen Fragen gestellt. Du hast ja vielleicht das Motto auf der Startseite dieses Forums gesehen: "Doofe fragen in Mathe . gibt's nicht" ;-) Alles Gute |
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Vielen lieben Dank für deine Mühe, Roman. lg Sigggi |
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