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Gaußsche Summenformel

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Tags: Formel, Formel aufstellen, Gauss, Gaußsche Summenformel

mathstudent20 aktiv_icon

14:02 Uhr, 08.11.2018

Hallo zusammen,

Ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu bearbeiten:

Stellen Sie eine Formel für die Summe der ersten

n

dritten Potenzen auf:

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} =

das wäre ja im Prinzip die Gaußsche Summenformel nur mit hoch 3

die normale Summenformel wäre ja:

n (n + 1) \cdot \frac{1}{2},

die Herleitung ist mir hier auch klar.

Im Internet habe ich auch schon gesehen, dass die Summenformel im Quadrat so aussieht: 1/6•n•(n+1)•(2n+1)

allerdings verstehe ich dort schon nicht, wie man auf diese Formel kommt.

Kann mir jemand erklären, wie diese Formel zustande kommt, und wie man die Formel für die Summenformel hoch 3 erstellt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

15:19 Uhr, 08.11.2018

Vielleicht hilft Dir das weiter.

www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

ermanus aktiv_icon

22:14 Uhr, 08.11.2018

Hallo,
wie kommt man z.B. auf die richtige Formel?
Wir gehen davon aus, dass die Formel ein Polynom in

n

ist.
Betrachten wir den Anfang der Wertetabelle dieser Funktion:

p (1) = 1, p (2) = 9, p (3) = 36, p (4) = 100, p (5) = 225, p (6) = 441

.
Nun bilden wir die Differenzen dieser Funktionswerte:

8, 27, 64, 125, 216

, dann die zweiten Differenzen, also
die Differenzen der Differenzen:

19, 37, 61, 91

. Die 3-ten Differenzen sind:

18, 24, 30

. Die 4-ten Differenzen sind alle gleich:

6, 6, 6, \dots

.
Dies sagt uns, dass die gesuchte Funktion ein Polynom

4

-ten Grades ist.
Da

p (0) = 0

ist, hat es die Gestalt:

p (n) = a_{4} n^{4} + a_{3} n^{3} + a_{2} n^{2} + a_{1} n

.
Damit bekommen wir:

p (1) = a_{4} + a_{3} + a_{2} + a_{1} = 1

p (2) = 16 a_{4} + 8 a_{3} + 4 a_{2} + 2 a_{1} = 9

p (3) = 81 a_{4} + 27 a_{3} + 9 a_{2} + 3 a_{1} = 36

p (4) = 256 a_{4} + 64 a_{3} + 16 a_{2} + 4 a_{1} = 100

.
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.

Zur Erleichterung der Lösemüh hier ein praktischer LGS-Rechner:
rechneronline.de/lineare-algebra/gleichungssysteme.php
...
Mal sehen, ob du die richtige Formel erhältst.
Gruß ermanus

Bei (siehe Matheboss)
www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm
kannst du das dann noch bestätigen (ganz unten auf der Seite)

k = 3

mathstudent20 aktiv_icon

20:10 Uhr, 11.11.2018

Danke für die Antworten.
Gibt es vielleicht noch eine andere Lösung, bei der man nicht ein LGS lösen muss?

ermanus aktiv_icon

09:47 Uhr, 12.11.2018

Eine Möglichkeit wäre, die Gleichheit

(1 + 2 + \cdot + n)^{2} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}

irgendwie auf "trickreiche Weise" zu begründen.
Leider ist mir hierzu bisher nichts eingefallen.

Wenn man die Summenformel für Kuben schon vorliegen hat,
kann man sie natürlich mit vollständiger Induktion beweisen,
aber das ist ja nicht das Gleiche wie sie herzuleiten.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:00 Uhr, 12.11.2018

Als Anregung folgendes Bild:
(1+2+3)(1+2+3):
Zeile 1:

1 \cdot (1 + 2 + 3)

Zeile 2:

2 \cdot (1 + 2 + 3)

Zeile 3:

3 \cdot (1 + 2 + 3)

Schwarze Summe =

1^{3}

Rote Summe =

2^{3}

Grüne Summe =

3^{3}

.

Nun eine Formel für diese "Haken" mit gleicher Farbe aufstellen ...

Gruß ermanus

Edddi aktiv_icon

12:22 Uhr, 12.11.2018

. .

. eine Möglichkeit wäre folgende:

Dazu muss allerdings schonmal die Summe der Quadratzahlen hergeleitet werden.

z . B

. so: www.onlinemathe.de/forum/Summe-Quadratzahlen

Damit dann

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

Analog die Summe der Kuben. Betrachtet man die Differenz der Kuben

1,8,27,64, . .

. so ergeben sich folgende Differenzen:

1 \cdot 6 + 1

3 \cdot 6 + 1

6 \cdot 6 + 1

10 \cdot 6 + 1

Die Faktoren

1,3,6,10, . .

. sind die Dreieckszahlen

Δ_{1}, Δ_{2}, . .

.

mit

Δ_{n} = \frac{n}{2} \cdot (n + 1)

[

Summe der natürlichen Zahlen]

Die Summe der Kuben kann dann also geschrieben werden als:

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = [1] + [1 + 6 \cdot Δ_{1} + 1] + [1 + 6 \cdot Δ_{1} + 1 + 6 \cdot Δ_{2} + 1] + ...

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = [6 \cdot Δ_{0} + 1] + [6 \cdot Δ_{0} + 6 \cdot Δ_{1} + 2] + [6 \cdot Δ_{0} + 6 \cdot Δ_{1} + 6 \cdot Δ_{2} + 3] + ...

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \sum_{k = 1}^{n} [6 \cdot (\sum_{i = 1}^{k} Δ_{i - 1}) + k] = 6 \cdot \sum_{k = 1}^{n} [\sum_{i = 1}^{k} Δ_{i - 1}] + \sum_{k = 1}^{n} [k] = 6 \cdot \sum_{k = 1}^{n} [\sum_{i = 1}^{k} Δ_{i - 1}] + \frac{n}{2} (n + 1)

Nun zur unschönen Summe:

\sum_{k = 1}^{n} [\sum_{i = 1}^{k} Δ_{i - 1}] = [Δ_{0}] + [Δ_{0} + Δ_{1}] + [Δ_{0} + Δ_{1} + Δ_{2}] + ... + [Δ_{0} + Δ_{1} + ... + Δ_{n - 1}]

= n \cdot Δ_{0} + (n - 1) \cdot Δ_{1} + (n - 2) \cdot Δ_{2} + ... + 1 \cdot Δ_{n - 1}

= \sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1) \cdot Δ_{k - 1}

Einsetzen der Formel für die Dreieckszahl

Δ_{k - 1} = \frac{k - 1}{2} \cdot ((k - 1) + 1) = \frac{k^{2}}{2} - \frac{k}{2} :

= \sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1) \cdot (\frac{k^{2}}{2} - \frac{k}{2})

= \sum_{k = 1}^{n} (- \frac{1}{2} k^{3} + (1 + \frac{n}{2}) k^{2} - \frac{n + 1}{2} k)

= - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + (1 + \frac{n}{2}) \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \frac{n + 1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k

Dies könnnen wir jetzt einsetzen in:

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = 6 \cdot \sum_{k = 1}^{n} [\sum_{i = 1}^{k} Δ_{i - 1}] + \frac{n}{2} (n + 1)

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = 6 \cdot (- \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + (1 + \frac{n}{2}) \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \frac{n + 1}{2} \sum_{k = 1}^{n} k) + \frac{n}{2} (n + 1)

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = - 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + (6 + 3 n) \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - (3 n + 3) \sum_{k = 1}^{n} k + \frac{n}{2} (n + 1)

jetzt bringen wir die Reihe der Kuben auf die andere Steite:

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = (6 + 3 n) \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - (3 n + 3) \sum_{k = 1}^{n} k + \frac{n}{2} (n + 1)

setzen die bekannte Summe der Quadrate und der nat. Zahlen ein:

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = (1 + \frac{n}{2}) n (n + 1) (2 n + 1) - (3 n + 3) \frac{n}{2} (n + 1) + \frac{n}{2} (n + 1)

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{2} n (n + 1) (n + 2) (2 n + 1) - (3 n + 3) \frac{n}{2} (n + 1) + \frac{n}{2} (n + 1)

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{2} n (n + 1) [(n + 2) (2 n + 1) - (3 n + 3) + 1]

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{2} n (n + 1) [2 n^{2} + 2 n]

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{2} n^{2} (n + 1) [2 n + 2]

4 \sum_{k = 1}^{n} k^{3} = n^{2} {(n + 1)}^{2}

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}

. .

. puh!

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